L'expérience consiste à tirer successivement et sans remise $2$ nombres de l'ensemble $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. L'ordre n'intervenant pas dans la détermination du minimum, nous pouvons utiliser les combinaisons pour simplifier les calculs.

1. Calcul du nombre de tirages possibles

   Soit $\Omega$ l'univers des tirages possibles. Son cardinal est :

   \[ \text{Card}(\Omega) = C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15 \]



2. Passage par l'événement contraire

   Soit $A$ l'événement : "le minimum des deux nombres est inférieur ou égal à $4$".

   Considérons l'événement contraire $\overline{A}$ : "le minimum des deux nombres est strictement supérieur à $4$".

   Pour que l'événement $\overline{A}$ se réalise, il faut obligatoirement que les deux nombres tirés appartiennent au sous-ensemble des nombres strictement supérieurs à $4$, c'est-à-dire $\{5, 6\}$.

   \[ \text{Card}(\overline{A}) = C_2^2 = 1 \]



3. Calcul de la probabilité

   La probabilité de l'événement contraire est :

   \[ P(\overline{A}) = \frac{\text{Card}(\overline{A})}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{1}{15} \]

   On en déduit directement la probabilité de l'événement $A$ :

   \[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15} \]

Autre méthode:

Puisque le tirage est successif, l'ordre de sortie a une importance.
On utilise donc les arrangements.

1. Calcul du nombre de tirages possibles

   Soit $\Omega$ l'univers des tirages possibles. Un tirage correspond à un arrangement de 2 éléments parmi 6 :

   \[ \text{Card}(\Omega) = A_6^2 = 6 \times 5 = 30 \]



2. Passage par l'événement contraire

   Soit $A$ l'événement : "le minimum des deux nombres est inférieur ou égal à 4".

   Considérons l'événement contraire $\overline{A}$ : "le minimum des deux nombres est strictement supérieur à 4".

   Pour que l'événement $\overline{A}$ se réalise, les deux nombres doivent être tirés parmi le sous-ensemble $\{5, 6\}$. Les cas favorables correspondent aux arrangements de 2 éléments parmi 2 (ce qui donne les couples $(5,6)$ et $(6,5)$) :

   \[ \text{Card}(\overline{A}) = A_2^2 = 2 \times 1 = 2 \]



3. Calcul de la probabilité

   La probabilité de l'événement contraire est :

   \[ P(\overline{A}) = \frac{\text{Card}(\overline{A})}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \]

   On en déduit directement la probabilité de l'événement $A$ :

   \[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15} \]