Rappel

Si $n = a + b + c$, le nombre de façons de répartir $n$ éléments en $3$ sous-ensembles de tailles respectives $a$, $b$ et $c$ est :

1. Calcul du nombre total de répartitions

   Soit $\Omega$ l'univers des répartitions des $15$ personnes en $3$ groupes de $4$, $5$ et $6$ personnes. D'après le rappel :

   \[ \text{Card}(\Omega) = \frac{15!}{4! 5! 6!} \]



2. Calcul du nombre de cas favorables

   Soit l'événement $A$ : "les $3$ plus jeunes sont dans des groupes différents".

   • Mises à part les $3$ personnes les plus jeunes, les $12$ personnes restantes doivent être réparties sur $3$ groupes de $3$, $4$ et $5$ personnes (pour laisser une place libre par groupe). Le nombre de ces répartitions partielles est :
   \[ \frac{12!}{3! 4! 5!} \]
   • Il ne reste qu'à affecter les $3$ jeunes aux configurations existantes, soit $3!$ permutations possibles.
   \[ \text{Card}(A) = 3! \times \frac{12!}{3! 4! 5!} \]



3. Calcul de la probabilité

   La probabilité de l'événement $A$ est :

   \[ P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{3! \times \frac{12!}{3! 4! 5!}}{\frac{15!}{4! 5! 6!}} \]

   En simplifiant directement par les factorielles communes ($4!$ et $5!$) :

   \[ P(A) = \frac{3! \times 12!}{3!} \times \frac{6!}{15!} = \frac{6! \times 12!}{15!} \] \[ P(A) = \frac{720}{15 \times 14 \times 13} = \frac{720}{2730}\] Soit: \[P(A)= \frac{24}{91} \]