Détermination du chiffre $x$ par les congruences

  1. Équation $ (\overline{51840})_{10} \times (\overline{273581})_{10} = (\overline{1418243x040})_{10} $
    • Modulo 9 :
      • La somme des chiffres de $51840$ est: \[ 5+1+8+4+0 = 18 \equiv 0 \pmod{9}\]
      • Le membre de gauche est donc congru à $0 \pmod{9}$.
        Pour le membre de droite : \[1+4+1+8+2+4+3+x+0+4+0 = 27 + x \equiv x \pmod{9}\]
      • On en déduit que $x \equiv 0 \pmod{9}$.
        Comme $x$ est un chiffre, $x \in \{0, 9\}$.

    • Modulo 11 :
      • La somme alternée de $273581$ est: \[1-8+5-3+7-2 = 0 \equiv 0 \pmod{11}\]
      • Le membre de gauche est donc congru à $0 \pmod{11}$.
      • Pour le membre de droite : $0-4+0-x+3-4+2-8+1-4+1 = -13 - x \equiv 9 - x \pmod{11}$.
      • On en déduit que: \[9 - x \equiv 0 \pmod{11}\implies x=9\]
  2. Équation $ (\overline{2x99561})_{10} = [3(523 + x) ]^2 $
    • Modulo 9 :
      • Le membre de droite contient le facteur $ 3^2 = 9 $, il est donc congru à $0 \pmod{9}$.
      • Pour le membre de gauche, la somme des chiffres est : \[ 32 + x \equiv 5 + x \pmod{9} \]
      • On en déduit: \[ 5 + x \equiv 0\pmod{9}\implies x = 4 \]
  3. Équation $ (2784x)_{10} = x\times (\overline{5569})_{10} $
    • Modulo 11 :
      • Pour le membre de gauche : \[x - 4 + 8 - 7 + 2 = x - 1 \pmod{11}\]
      • Pour le membre de droite : $ 5569 \equiv 9 - 6 + 5 - 5 = 3 \pmod{11} $, ce qui donne $x \times 5569 \equiv 3x \pmod{11}$.
      • En égalisant : $x - 1 \equiv 3x \pmod{11} \implies 2x \equiv -1 \equiv 10 \pmod{11}$.
      • En divisant par $2$ (qui est premier avec $11$) : \[ x = 5 \]
  4. Équation $ (\overline{512})\times (\overline{1x53125})_{10} = (\overline{1000000000})_{10} $
    • Modulo 9 :
      • $ 512 \equiv 5+1+2 = 8 \pmod{9} $.
      • $ 1000000000 \equiv 1 \pmod{9} $.
      • $ 1x53125 \equiv 8 + x \pmod{9} $.
      • L'équation devient : $8(8 + x) \equiv 1 \pmod{9} \implies 64 + 8x \equiv 1 \pmod{9} \implies 8x \equiv 0 \pmod{9}$.
        Donc $x \in \{0, 9\}$.

    • Modulo 11 :
      • $ 512 \equiv 2-1+5 = 6 \pmod{11} $.
      • $ 1000000000 = 10^9 \equiv (-1)^9 = -1 \equiv 10 \pmod{11} $.
      • $ 1x53125 \equiv 7 - x \pmod{11} $.
      • L'équation devient : \[6(7 - x) \equiv 10 \pmod{11} \] Soit: \[ x = 9 \]