La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^2 \sqrt{1+t^2}}$ est continue sur $]0; +\infty[$.
D'après le théorème de la moyenne, pour tout $x > 0$, il existe $c\in [x; x+\sqrt{x}]$ tel que : \[F(x) = \frac{\sqrt{x}}{c^2 \sqrt{1+c^2}}\]
-
Limite en $+\infty$ :
Puisque $x \le c$, on obtient la majoration : \[0 \le F(x) \le \frac{\sqrt{x}}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\] Or, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2 \sqrt{1+x^2}} = 0$. Par le théorème des gendarmes : \[\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0\] -
Limite en $0^+$ :
Au voisinage de $0^+$ (pour $0 < x < 1$), on a $x < \sqrt{x}$, d'où $x + \sqrt{x} < 2\sqrt{x}$.
Puisque $ \le x + \sqrt{x}$, on a $ < 2\sqrt{x}$.
La fonction $t \mapsto t^2\sqrt{1+t^2}$ étant strictement croissante sur $]0; +\infty[$, on obtient la minoration : \[F(x) \ge \frac{\sqrt{x}}{(2\sqrt{x})^2 \sqrt{1+(2\sqrt{x})^2}}\] \[F(x) \ge \frac{\sqrt{x}}{4x \sqrt{1+4x}} = \frac{1}{4\sqrt{x} \sqrt{1+4x}}\] Or, $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4\sqrt{x} \sqrt{1+4x}} = +\infty$. Par comparaison, on en déduit : \[\lim_{x \to 0^+} F(x) = +\infty\]