• Introduction de la fonction intĂ©grale :
      Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[F(x) = \int_{-x}^x f(t) \,dt\]
      Par hypothĂšse, $F$ est une fonction constante sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x \in \mathbb{R}$, $F(x) = \lambda$.
    • Lien avec la primitive :
      La fonction $f$ Ă©tant continue sur $\mathbb{R}$, elle admet des primitives sur $\mathbb{R}$. Soit $G$ une primitive de $f$.
      On peut ainsi exprimer $F(x)$ Ă  l'aide de cette primitive : \[ F(x) = G(x) - G(-x) \]
    • DĂ©rivation de la fonction $F$ :
      Puisque $F$ est une fonction constante ($F(x) = \lambda$), sa dérivée est identiquement nulle pour tout $~x~$ dans $~\mathbb{R}$ : \[ F'(x) = 0 \] Ce qui équivaut à: \[ F'(x) = G'(x) + G'(-x) = f(x) + f(-x) = 0\] Ce qui implique: \[f(-x) = -f(x) \]
      Cette relation Ă©tant vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$, on conclut que la fonction $f$ est impaire.