• Remarque fondamentale :
      Considérons la fonction intégrande $f(x) = \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
      Elle est définie et continue sur le segment symétrique $\left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$.
    • Étude de la paritĂ© :
      Pour tout $x \in \left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$, évaluons $f(-x)$ en utilisant la parité de la fonction cosinus ($\cos(-x) = \cos(x)$) : \[ f(-x) = \cos(-x) \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \cos(x) \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) =\]
    • Utilisation des propriĂ©tĂ©s du logarithme :
      En remarquant que $\frac{1+x}{1-x} = \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1}$, on obtient : \[ f(-x) = \cos(x) \left(-\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right) = -f(x) \]
    • Conclusion directe :
      L'intégrande $f$ est une fonction impaire. L'intervalle d'intégration $\left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$ étant centré en zéro, on en déduit immédiatement que son intégrale est nulle : \[ \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \,dx = 0 \]