• Analyse du problĂšme :
      Notons la somme cherchée $S = I_1 + I_2$ avec : \[ I_1 = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \,dx \quad \text{et} \quad I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^2 x} \,dx \]
    • Changement de variable sur $I_2$ : $~(~t = \frac{\pi}{2} - x~)~$ sur $~I_2$.
      $dx = -dt$.
      $x = 0\implies t = \frac{\pi}{2}$
      $x = \frac{\pi}{4}\implies t = \frac{\pi}{4}$.
    • RĂ©Ă©criture de $I_2$ :
      En substituant dans l'intégrale :
      \[ I_2 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} (-dt) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\sin^2 t} \,dt \]
    • Simplification de la somme $S$ :
      On remarque, que l'expression obtenue pour $I_2$ est exactement celle de $I_1$.
      La somme se simplifie donc en : \[ S = 2I_1 = 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \,dx \]
    • Calcul de l'intĂ©grale finale :
      L'intégrande peut s'écrire sous la forme $\cos x \cdot (\sin x)^{-2}$, ce qui correspond exactement à la forme $u'(x) \cdot (u(x))^n$ .
      Une primitive est donc: $~\frac{(\sin x)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{\sin x}$.
      Évaluons cette primitive aux bornes : \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \,dx = \left[ -\frac{1}{\sin x} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =-1+\sqrt{2}\] Soit: \[I_1=\sqrt 2 -1\]
    • Conclusion :
      Il ne reste plus qu'à multiplier ce résultat par $2$ : \[ S = 2(\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2 \]