• Changement de variable :
      On considÚre l'intégrale $\int_a^b f(x) \,dx$.
      Effectuons le changement de variable affine en posant $x = a + (b-a)t$.
    • DiffĂ©rentielle :
      En dérivant $x$ par rapport à la nouvelle variable $t$, on obtient : \[ dx = (b-a) \,dt \]
    • Nouvelles bornes d'intĂ©gration :
      La relation entre les bornes se déduit par équivalence directe : \[ t = 0 \iff x = a \] \[ t = 1 \iff x = b \]
    • Substitution :
      En remplaçant tous ces éléments dans l'intégrale initiale, l'expression devient : \[ \int_a^b f(x) \,dx = \int_0^1 f(a+(b-a)t) (b-a) \,dt \]
    • Conclusion :
      Par linéarité de l'intégrale, la quantité $(b-a)$ étant une constante réelle indépendante de la variable $t$, on peut la sortir de l'intégrale : \[ \int_a^b f(x) \,dx = (b-a) \int_0^1 f(a+(b-a)t) \,dt \]