Étude de la suite d'intégrales $u_n$ et série exponentielle

1. 1. Démonstration de la relation de récurrence

   1. On a: \[ u_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} \int_0^1 (1-x)^{n+1} (e^x)' \,dx \] \[ u_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} \left[ (1-x)^{n+1} e^x \right]_0^1 - \frac{1}{(n+1)!} \int_0^1 -(n+1)(1-x)^n e^x \,dx \]
   2. L'évaluation du terme entre crochets donne : \[ \left[ (1-x)^{n+1} e^x \right]_0^1 = (0 \cdot e) - (1 \cdot e^0) = -1 \]
   3. On obtient donc: \[ u_{n+1} = -\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{n!} \int_0^1 (1-x)^n e^x \,dx \]
   4. On reconnaît exactement l'expression de $u_n$ dans la deuxième partie, ce qui donne bien : \[ u_{n+1} = -\frac{1}{(n+1)!} + u_n \implies u_{n+1} = u_n - \frac{1}{(n+1)!} \]

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2. 2. Déduction de l'expression explicite de $u_n$

   1. D'après la question précédente, on peut écrire pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ : \[ u_{k+1} - u_k = -\frac{1}{(k+1)!} \]
   2. En sommant ces égalités de $k=0$ jusqu'à $n-1$, on obtient une somme télescopique : \[ \sum_{k=0}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) = -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(k+1)!} \] \[ u_n - u_0 = -\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \]
   3. Calculons la valeur initiale $u_0$ : \[ u_0 = \frac{1}{0!} \int_0^1 (1-x)^0 e^x \,dx = \int_0^1 e^x \,dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e - 1 \]
   4. En remplaçant $u_0$ dans notre équation : \[ u_n - (e - 1) = -\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \] \[ u_n = e - 1 - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \]
   5. En remarquant que $1 = \frac{1}{0!}$, on peut l'intégrer à la somme pour finaliser l'expression : \[ u_n = e - \left( \frac{1}{0!} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \right) \] \[ u_n = e - \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \]