1. Calcul de l'intégrale $I_1$

• On calcule $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+\cos x} \,dx$.
• On peut écrire : \[ \frac{\cos x}{1+\cos x} = \frac{1+\cos x - 1}{1+\cos x} = 1 - \frac{1}{1+\cos x} \]
• En utilisant la formule de trigonométrie $1+\cos x = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$, l'intégrale devient : \[ I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( 1 - \frac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \right) \,dx \]
• On reconnaît la dérivée de la fonction tangente : \[ I_1 = \left[ x - \tan\left(\frac{x}{2}\right) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \] \[ I_1 = \left( \frac{\pi}{4} - \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) \right) - (0 - \tan(0)) \]
• Sachant que $\tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1$, on obtient finalement : \[ I_1 = \frac{\pi}{4} - (\sqrt{2} - 1) = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} + 1 \]

2. Calcul de l'intégrale $I_2$

• On calcule $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin(2x)\cos(5x) \,dx$.
• On utilise la fromule de linéarisation suivante: \[\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}(\sin(a+b) + \sin(a-b))\] On obtient alors: \[ \sin(2x)\cos(5x) = \frac{1}{2}(\sin(7x) + \sin(-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(7x) - \sin(3x)) \]
• On intègre directement cette expression : \[ I_2 = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin(7x) - \sin(3x)) \,dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{7}\cos(7x) + \frac{1}{3}\cos(3x) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \]
• Évaluation aux bornes :
  Pour $x = \frac{\pi}{3}$ : $-\frac{1}{7}\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) + \frac{1}{3}\cos(\pi) = -\frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{3}(-1) = -\frac{1}{14} - \frac{1}{3}$.
  Pour $x = 0$ : $-\frac{1}{7}\cos(0) + \frac{1}{3}\cos(0) = -\frac{1}{7} + \frac{1}{3}$. \[ I_2 = \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{1}{14} - \frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{7} + \frac{1}{3}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{14} - \frac{2}{3} \right) \]
• En réduisant au même dénominateur ($42$) : \[ I_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{3 - 28}{42} \right) = -\frac{25}{84} \]

3. Calcul de l'intégrale $I_3$

• On calcule $I_3 = \int_0^{\ln(\sqrt{3})} e^x \text{Arctan}(e^{-x}) \,dx$.
• Par intégration par parties : \[ I_3 = \int_0^{\ln(\sqrt{3})} (e^x)' \text{Arctan}(e^{-x}) \,dx \] \[ I_3 = \left[ e^x \text{Arctan}(e^{-x}) \right]_0^{\ln(\sqrt{3})} - \int_0^{\ln(\sqrt{3})} e^x \cdot \frac{-e^{-x}}{1+(e^{-x})^2} \,dx \] \[ I_3 = \left[ e^x \text{Arctan}(e^{-x}) \right]_0^{\ln(\sqrt{3})} + \int_0^{\ln(\sqrt{3})} \frac{1}{1+e^{-2x}} \,dx \]
• On a:
  ($e^{\ln(\sqrt{3})} = \sqrt{3}\qquad $ et $\qquad e^{-\ln(\sqrt{3})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$) : \[ \left( \sqrt{3} \text{Arctan}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right) - \left( e^0 \text{Arctan}(1) \right) = \sqrt{3}\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi}{4} \]
• Pour l'intégrale restante, en multipliant par $e^{2x}$ en haut et en bas : \[ \int_0^{\ln(\sqrt{3})} \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1} \,dx = \left[ \frac{1}{2}\ln(e^{2x}+1) \right]_0^{\ln(\sqrt{3})} \] \[ \left[ \frac{1}{2}\ln(e^{2x}+1) \right]_0^{\ln(\sqrt{3})} = \frac{1}{2}\ln(3+1) - \frac{1}{2}\ln(1+1) = \frac{1}{2}\ln(4) - \frac{1}{2}\ln(2) = \frac{\ln(2)}{2} \]
• On rassemble les deux parties : \[ I_3 = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{\ln(2)}{2} \]

Calcul de l'intégrale $I_4$

1. • Linéarisation:
     On souhaite calculer $I_4 = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^4(x) \,dx$. \[ \sin^4(x) = \sin^2(x)(1 - \cos^2(x)) = \sin^2(x) - \sin^2(x)\cos^2(x) \]
     En utilisant l'identité $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$, on obtient : \[ \sin^4(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{\sin^2(2x)}{4} \]
     On continue la linéarisation: \[ \sin^4(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{1 - \cos(4x)}{8} \]
     En réduisant au même dénominateur pour faciliter l'intégration : \[ \sin^4(x) = \frac{4 - 4\cos(2x) - 1 + \cos(4x)}{8}\] Soit \[\sin^4x = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \]
   • Intégration directe : \[ I_4 = \left[ \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \]
   • Évaluation aux bornes : \[ I_4 = \left( \frac{3}{8}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{32}\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right) - 0 \] \[ I_4 = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{32}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ I_4 = \frac{\pi}{8} - \frac{4\sqrt{3}}{32} - \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} - \frac{8\sqrt{3}}{64} - \frac{\sqrt{3}}{64} \] \[ I_4 = \frac{\pi}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{64} \]

5. Calcul de l'intégrale $I_5$

1. On calcule $I_5 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1)\cos^2(x)\sin(x) \,dx$.
• On remarque que $\cos^2(x)\sin(x)$ est la dérivée de $-\frac{1}{3}\cos^3(x)$. Par intégration par parties : \[ I_5 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \left(-\frac{1}{3}\cos^3(x)\right)' \,dx \] \[ I_5 = \left[ -\frac{1}{3}(2x+1)\cos^3(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \left(-\frac{1}{3}\cos^3(x)\right) \,dx \] \[ I_5 = \left( 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) + \frac{2}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(x) \,dx = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(x) \,dx \]
• Pour l'intégrale restante, on décompose $\cos^3(x) = \cos(x)(1-\sin^2(x))$ : \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)(1-\sin^2(x)) \,dx = \left[ \sin(x) - \frac{1}{3}\sin^3(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{2}{3} \]
• On conclut : \[ I_5 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{4}{9}\] Soit: \[I_5 = \frac{7}{9} \]

6. Calcul de l'intégrale $I_6$

1. On calcule $I_6 = \int_0^1 x^3 e^{-x^2} \,dx$.
• En écrivant $x^3 e^{-x^2} = x^2 \cdot \left(x e^{-x^2}\right)$, on reconnaît que $x e^{-x^2}$ est la dérivée de $-\frac{1}{2}e^{-x^2}$.
• Par intégration par parties : \[ I_6 = \int_0^1 x^2 \left(-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right)' \,dx \] \[ I_6 = \left[ -\frac{1}{2}x^2 e^{-x^2} \right]_0^1 - \int_0^1 2x \left(-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right) \,dx \] \[ I_6 = \left( -\frac{1}{2}e^{-1} - 0 \right) + \int_0^1 x e^{-x^2} \,dx \]
• L'intégrale restante s'évalue directement : \[ I_6 = -\frac{1}{2e} + \left[ -\frac{1}{2}e^{-x^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{2e} + \left( -\frac{1}{2e} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \] Soit: \[ I_6 = \frac{e-2}{2e} \]

7. Calcul de l'intégrale $I_7$

1. On calcule $I_7 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (x\cos x + \sin x) \,dx$.
• On reconnaît immédiatement dans l'intégrande la dérivée d'un produit : $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$.
• L'intégration est directe : \[ I_7 = \left[ x\sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \] \[ I_7 = (\pi \sin \pi) - \left(\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \] \[ I_7 = 0 - \frac{\pi}{2}(1) \] Soit: \[I_7=-\frac{\pi}{2} \]

8. Calcul de l'intégrale $I_8$

1. On calcule $I_8 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \,dx$.
• En écrivant $\tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$, on identifie la forme $\frac{-u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = \cos x$ : \[ I_8 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-( \cos x )'}{\cos x} \,dx = \left[ -\ln(\cos x) \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} \]
• On évalue aux bornes en respectant l'ordre ($\frac{\pi}{3}$ vers $\frac{\pi}{4}$) : \[ I_8 = -\ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) - \left(-\ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) \] \[ I_8 = -\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \ln\left(\frac{1}{2}\right) \] \[ I_8 = -\ln(2^{-1/2}) + \ln(2^{-1}) = \frac{1}{2}\ln(2) - \ln(2)\] Soit: \[I_8 = -\frac{1}{2}\ln(2) \]