1. Calcul de $I(\lambda)$ par intégration par parties :
      Soit $\lambda \in ]0;1[$.
      On calcule l'intégrale $I(\lambda) = \int_0^{1-\lambda} \ln(1-t^2) \,dt$.
      Par intégration par parties : \[ I(\lambda) = \int_0^{1-\lambda} (t)' \ln(1-t^2) \,dt \] \[ I(\lambda) = \left[ t \ln(1-t^2) \right]_0^{1-\lambda} - \int_0^{1-\lambda} t \cdot \frac{-2t}{1-t^2} \,dt \] \[ I(\lambda) = (1-\lambda)\ln(1-(1-\lambda)^2) - 0 + \int_0^{1-\lambda} \frac{2t^2}{1-t^2} \,dt \]
    2. Simplification des expressions :
      D'une part, l'argument du logarithme se développe ainsi : $1-(1-\lambda)^2 = 1 - (1 - 2\lambda + \lambda^2) = \lambda(2-\lambda)$.
      Le terme tout intégré devient donc : \[ (1-\lambda)\ln(\lambda(2-\lambda)) = (1-\lambda)(\ln(\lambda) + \ln(2-\lambda)) \]
      D'autre part, on effectue une décomposition en éléments simples pour l'intégrale restante : \[ \frac{2t^2}{1-t^2} = \frac{-2(1-t^2) + 2}{1-t^2} = -2 + \frac{2}{1-t^2} \]
      Sachant que $\frac{2}{1-t^2} = \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t}$, l'intégrale s'écrit : \[ \int_0^{1-\lambda} \left( -2 + \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \right) \,dt = \left[ -2t + \ln(1+t) - \ln(1-t) \right]_0^{1-\lambda} \]
      L'Ă©valuation en $0$ est nulle. L'Ă©valuation en $1-\lambda$ donne : \[ -2(1-\lambda) + \ln(2-\lambda) - \ln(\lambda) \]
    3. Expression finale de $I(\lambda)$ :
      En regroupant toutes les parties : \[ I(\lambda) = (1-\lambda)\ln(\lambda) + (1-\lambda)\ln(2-\lambda) - 2(1-\lambda) + \ln(2-\lambda) - \ln(\lambda) \]
      En factorisant par $\ln(\lambda)$ et $\ln(2-\lambda)$ : \[ I(\lambda) = (1-\lambda-1)\ln(\lambda) + (1-\lambda+1)\ln(2-\lambda) - 2(1-\lambda) \] \[ I(\lambda) = -\lambda\ln(\lambda) + (2-\lambda)\ln(2-\lambda) - 2 + 2\lambda \]
    1. DĂ©termination de la limite en $0^+$ :
      On cherche Ă  Ă©valuer $\lim\limits_{\lambda \to 0^+} I(\lambda)$.
      D'aprÚs les limites de référence (croissances comparées), on a : \[ \lim_{\lambda \to 0^+} \lambda\ln(\lambda) = 0 \]
      Pour les autres termes, l'évaluation directe ne pose aucune indétermination : \[ \lim_{\lambda \to 0^+} (2-\lambda)\ln(2-\lambda) = 2\ln(2) \] \[ \lim_{\lambda \to 0^+} (-2 + 2\lambda) = -2 \]
    2. Conclusion : \[ \lim_{\lambda \to 0^+} I(\lambda) = 0 + 2\ln(2) - 2 \] Soit: \[ \lim_{\lambda \to 0^+} I(\lambda) = 2(\ln(2) - 1) \]