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- Calcul de l'intégrale $I$ :
On souhaite calculer : \[I = \int_{-\ln 2}^0 \frac{1}{1+2e^x} \,dx\]
Pour faciliter l'intégration, multiplions le numérateur et le dénominateur par $e^{-x}$ : \[ I = \int_{-\ln 2}^0 \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 2e^x e^{-x}} \,dx = \int_{-\ln 2}^0 \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 2} \,dx \]
On remarque au numérateur l'opposé de la dérivée du dénominateur, puisque $(e^{-x} + 2)' = -e^{-x}$ : \[ I = \int_{-\ln 2}^0 \frac{-(e^{-x} + 2)'}{e^{-x} + 2} \,dx \] \[ I = \left[ -\ln(e^{-x} + 2) \right]_{-\ln 2}^0 \]
Ăvaluons cette primitive aux bornes. Sachant que $e^0 = 1$ et $e^{-(-\ln 2)} = e^{\ln 2} = 2$ : \[ I = -\ln(1 + 2) - \left(-\ln(e^{\ln 2} + 2)\right) \] \[ I = -\ln(3) + \ln(2 + 2) = \ln(4) - \ln(3) \] \[ I = \ln\left(\frac{4}{3}\right) \]
- Calcul de l'intégrale $I$ :
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- Calcul de l'intégrale $J$ :
On souhaite calculer: \[J = \int_{-\ln 2}^0 e^{-x} \ln(1+2e^x) \,dx\]
Par intégration par parties : \[ J = \int_{-\ln 2}^0 (-e^{-x})' \ln(1+2e^x) \,dx \] \[ J = \left[ -e^{-x} \ln(1+2e^x) \right]_{-\ln 2}^0 - \int_{-\ln 2}^0 -e^{-x} \frac{2e^x}{1+2e^x} \,dx \]
Simplifions l'intégrale restante, sachant que $e^{-x} e^x = 1$ : \[ J = \left[ -e^{-x} \ln(1+2e^x) \right]_{-\ln 2}^0 + \int_{-\ln 2}^0 \frac{2}{1+2e^x} \,dx \]
On reconnaßt l'intégrale $I$ multipliée par $2$ : \[ J = \left( -e^0 \ln(1+2e^0) - \left( -e^{\ln 2} \ln(1+2e^{-\ln 2}) \right) \right) + 2I \]
Sachant que: $~~e^{\ln 2} = 2 \qquad ;\qquad e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$ \[ J = \left( -1 \cdot \ln(3) + 2 \ln\left(1 + 2\left(\frac{1}{2}\right)\right) \right) + 2I \] \[ J = -\ln(3) + 2\ln(2) + 2I \] \[ J = \ln(4) - \ln(3) + 2I \] Par la suite: \[ J = \ln\left(\frac{4}{3}\right) + 2\ln\left(\frac{4}{3}\right) \] Soit: \[ J = 3\ln\left(\frac{4}{3}\right) \]
- Calcul de l'intégrale $J$ :