Calcul de l'aire du domaine

1. Étude du signe de la fonction sur l'intervalle d'intégration

   1. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle d'intégration $[-1, \sqrt{3}]$ : \[ \begin{align*} f : &[-1, \sqrt{3}] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x^2 \arctan(x) \end{align*} \]
   2. Pour calculer l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales, nous devons évaluer l'intégrale de la valeur absolue de la fonction : \[ \mathcal{A} = \int_{-1}^{\sqrt{3}} |f(x)| \,dx \]
   3. Pour tout $x \in [-1, \sqrt{3}]$, le terme $x^2$ est positif ou nul. Le signe de $f(x)$ dépend donc exclusivement du signe de la fonction arc tangente.
   4. Sachant que $\arctan(x) \le 0$ sur $[-1, 0]$ et $\arctan(x) \ge 0$ sur $[0, \sqrt{3}]$, nous pouvons scinder l'intégrale grâce à la relation de Chasles : \[ \mathcal{A} = \int_{-1}^{0} -x^2 \arctan(x) \,dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} x^2 \arctan(x) \,dx \]



2. Recherche d'une primitive par intégration par parties

   1. Déterminons d'abord une primitive $G$ de la fonction $x \longmapsto x^2 \arctan(x)$ sur $\mathbb{R}$.
      Posons les fonctions $u$ et $v$ telles que :
      $u(x) = \arctan(x) \implies u'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
      $v'(x) = x^2 \implies v(x) = \frac{x^3}{3}$
      
   2. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$. En appliquant la formule d'intégration par parties : \[ \int x^2 \arctan(x) \,dx = \frac{x^3}{3} \arctan(x) - \frac{1}{3} \int \frac{x^3}{1+x^2} \,dx \]
   3. Calculons l'intégrale restante en décomposant la fraction rationnelle : \[ \frac{x^3}{1+x^2} = \frac{x(x^2+1)-x}{1+x^2} = x - \frac{x}{1+x^2} \]
   4. En intégrant cette nouvelle expression, on obtient : \[ \int \left( x - \frac{x}{1+x^2} \right) \,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \]
   5. On en déduit l'expression de la primitive $G(x)$ : \[ G(x) = \frac{x^3}{3} \arctan(x) - \frac{x^2}{6} + \frac{1}{6}\ln(1+x^2) \]



3. Calcul final de l'aire

   1. L'aire totale s'exprime maintenant à l'aide de la primitive $G$ : \[ \mathcal{A} = \left[ -G(x) \right]_{-1}^0 + \left[ G(x) \right]_0^{\sqrt{3}} = G(-1) + G(\sqrt{3}) - 2G(0) \]
   2. Évaluons la primitive en ces trois points :
      - En $0$ : $G(0) = 0 - 0 + 0 = 0$.
      - En $-1$ : \[ G(-1) = \frac{(-1)^3}{3} \arctan(-1) - \frac{(-1)^2}{6} + \frac{1}{6}\ln(1+(-1)^2) \] \[ G(-1) = -\frac{1}{3} \left(-\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\ln(2) = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6} + \frac{\ln(2)}{6} \]
      - En $\sqrt{3}$ : \[ G(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3}{3} \arctan(\sqrt{3}) - \frac{(\sqrt{3})^2}{6} + \frac{1}{6}\ln(1+(\sqrt{3})^2) \] \[ G(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{3} \left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{3}{6} + \frac{1}{6}\ln(4) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} + \frac{\ln(2)}{3} \]
   3. En additionnant $G(-1)$ et $G(\sqrt{3})$, nous obtenons l'aire exacte en unités d'aire : \[ \mathcal{A} = \left( \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6} + \frac{\ln(2)}{6} \right) + \left( \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} + \frac{\ln(2)}{3} \right) \] \[ \mathcal{A} = \frac{\pi(1+4\sqrt{3})}{12} - \frac{2}{3} + \frac{\ln(2)}{2} \text{ u.a.} \]