1. Calcul de $\lim\limits_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}}$
    • Soit $x > 0$. On s'intĂ©resse Ă  l'intervalle d'intĂ©gration $[x, 2x]$. L'idĂ©e est d'encadrer la fonction sous l'intĂ©grale pour utiliser le thĂ©orĂšme des gendarmes (ou de comparaison).
    • Pour tout $t \in [x, 2x]$, on a la minoration et la majoration suivantes : \[ x \le t \le 2x \implies x^2 \le t^2 \le 4x^2 \implies 1+x^2 \le 1+t^2 \le 1+4x^2 \]
    • La fonction racine carrĂ©e Ă©tant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, on en dĂ©duit : \[ \sqrt{1+x^2} \le \sqrt{1+t^2} \le \sqrt{1+4x^2} \]
    • En passant Ă  l'inverse (les quantitĂ©s Ă©tant strictement positives), l'ordre est inversĂ© : \[ \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}} \le \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \le \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \]
    • On multiplie chaque membre par $\frac{1}{t^2}$ (qui est strictement positif sur l'intervalle) : \[ \frac{1}{t^2\sqrt{1+4x^2}} \le \frac{1}{t^2\sqrt{1+t^2}} \le \frac{1}{t^2\sqrt{1+x^2}} \]
    • Par croissance de l'intĂ©grale sur $[x, 2x]$ (puisque $x < 2x$) : \[ \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+4x^2}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+x^2}} \]
    • Les termes contenant les racines Ă©tant constants par rapport Ă  la variable d'intĂ©gration $t$, on peut les sortir. Calculons l'intĂ©grale commune restante : \[ \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2} = \left[ -\frac{1}{t} \right]_x^{2x} = -\frac{1}{2x} - \left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{2x} + \frac{2}{2x} = \frac{1}{2x} \]
    • L'encadrement devient alors : \[ \frac{1}{2x\sqrt{1+4x^2}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}} \le \frac{1}{2x\sqrt{1+x^2}} \]
    • Étudions la limite de la borne infĂ©rieure quand $x \to 0^+$ :
      Le dénominateur tend vers $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} 2x\sqrt{1+4x^2} = 0^+$.
      On en déduit par quotient : $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2x\sqrt{1+4x^2}} = +\infty$.
    • D'aprĂšs le thĂ©orĂšme de comparaison, on conclut : \[ \lim_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}} = +\infty \]

  2. Calcul de $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}}$
    • Soit $x > 0$. Sur l'intervalle $[x, 2x]$, considĂ©rons la fonction $f(t) = \frac{1}{1+\sqrt{t}}$.
    • Cette fonction est strictement dĂ©croissante sur $\mathbb{R}^+$. Ainsi, son minimum sur l'intervalle est atteint en $2x$ et son maximum en $x$. Pour tout $t \in [x, 2x]$ : \[ \frac{1}{1+\sqrt{2x}} \le \frac{1}{1+\sqrt{t}} \le \frac{1}{1+\sqrt{x}} \]
    • Par croissance de l'intĂ©grale sur $[x, 2x]$, on intĂšgre ces bornes constantes : \[ \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{2x}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{x}} \]
    • La longueur de l'intervalle d'intĂ©gration est $(2x - x) = x$. L'encadrement se simplifie donc en : \[ \frac{x}{1+\sqrt{2x}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}} \le \frac{x}{1+\sqrt{x}} \]
    • Pour Ă©valuer la limite en $+\infty$, levons l'indĂ©termination sur la borne infĂ©rieure en factorisant par le terme dominant au dĂ©nominateur ($\sqrt{x}$) : \[ \frac{x}{1+\sqrt{2x}} = \frac{x}{\sqrt{x} \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}\right)} = \frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}} \]
    • Calculons la limite de ce quotient :
      On sait que le numérateur $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.
      Le dénominateur tend vers une constante strictement positive : $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}\right) = \sqrt{2}$.
      Par produit et quotient de limites, on obtient : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}} = +\infty \]
    • La borne infĂ©rieure tendant vers $+\infty$, le thĂ©orĂšme de comparaison permet de conclure immĂ©diatement : \[ \lim_{x \to +\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}} = +\infty \]