1. Mise sous forme canonique et paramétrisation
    1. Transformation du dénominateur :
      Le trinĂŽme se met sous sa forme canonique :
      \[ x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \]
    2. Introduction du paramĂštre $a$ :
      Posons $a^2 = \frac{3}{4}$ avec $a > 0$, soit $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. L'intégrale s'écrit alors :
      \[ I = \int_0^1 \frac{dx}{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + a^2} \]

  2. Changement de variable
    1. Substitution directe :
      Posons $x - \frac{1}{2} = at$. En différenciant, on obtient $dx = a \,dt$.
      Le dénominateur se simplifie remarquablement grùce à la factorisation immédiate :
      \[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + a^2 = (at)^2 + a^2 = a^2(t^2 + 1) \]
    2. Nouvelles bornes :
      Pour $x = 0$, $-\frac{1}{2} = at \implies t = -\frac{1}{2a}$.
      Pour $x = 1$, $\frac{1}{2} = at \implies t = \frac{1}{2a}$.

  3. Calcul de l'intégrale et résultat
    1. Intégration :
      En remplaçant les éléments dans l'intégrale, on obtient :
      \[ I = \int_{-\frac{1}{2a}}^{\frac{1}{2a}} \frac{a \,dt}{a^2(t^2+1)} = \frac{1}{a} \int_{-\frac{1}{2a}}^{\frac{1}{2a}} \frac{dt}{t^2+1} \] En intégrant avec la fonction primitive usuelle :
      \[ I = \frac{1}{a} \Big[ \arctan(t) \Big]_{-\frac{1}{2a}}^{\frac{1}{2a}} = \frac{1}{a} \left( \arctan\left(\frac{1}{2a}\right) - \arctan\left(-\frac{1}{2a}\right) \right) \] La fonction Arctangente Ă©tant impaire ($\arctan(-x) = -\arctan(x)$) :
      \[ I = \frac{2}{a} \arctan\left(\frac{1}{2a}\right) \]
    2. Substitution finale de $a$ :
      Sachant que $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, on a $\frac{1}{2a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
      On remplace dans notre expression :
      \[ I = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{\pi}{6} \] En simplifiant, on retrouve le résultat :
      \[ I = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \]