1. Transformation du dénominateur
On cherche à mettre le trinôme du dénominateur sous sa forme canonique afin de faire apparaître la dérivée de la fonction arc tangente.
- On factorise et on complète le carré : \[ 4x^2 + 4x + 5 = (2x + 1)^2 + 4 \]
- On factorise ensuite par 4 pour obtenir une expression de la forme $ u^2 + 1 $ : \[ 4x^2 + 4x + 5 = 4 \left( \left(\frac{2x + 1}{2}\right)^2 + 1 \right) = 4 \left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 1 \right) \]
2. Changement de variable
On pose le changement de variable affine suivant :
\[ u = x + \frac{1}{2} \]- Calcul de la différentielle : $ du = dx $
- Détermination des nouvelles bornes :
- Pour $ x = \frac{3}{2} $, on a $ u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 $
- Pour $ x = \frac{7}{2} $, on a $ u = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4 $
3. Évaluation de l'intégrale
En effectuant la substitution dans l'intégrale initiale, par linéarité, on obtient :
\[ I = \int_{2}^{4} \frac{du}{4(u^2 + 1)} = \frac{1}{4} \int_{2}^{4} \frac{du}{u^2 + 1} \]On reconnaît la primitive usuelle de la fonction arc tangente :
\[ I = \frac{1}{4} \Big[ \arctan(u) \Big]_{2}^{4} = \frac{1}{4} (\arctan(4) - \arctan(2)) \]4. Simplification du résultat
On utilise l'identité trigonométrique liée à la différence de deux arcs tangente (valable pour $ ab > -1 $) :
\[ \arctan(a) - \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \]Ici, en posant $ a = 4 $ et $ b = 2 $ (le produit $ ab = 8 $ vérifie bien la condition) :
\[ \arctan(4) - \arctan(2) = \arctan\left(\frac{4 - 2}{1 + 4 \times 2}\right) = \arctan\left(\frac{2}{9}\right) \]Résultat final :
\[ I = \frac{1}{4} \arctan\left(\frac{2}{9}\right) \]