1. Détermination du réel $a$
    • Par linĂ©aritĂ© de l'intĂ©grale, scindons l'intĂ©grale initiale en deux termes :
    \[ \begin{align*} \int_0^1 (x+a)e^x \,dx &= \int_0^1 x e^x \,dx + a \int_0^1 e^x \,dx \end{align*} \]
    • Appliquons l'intĂ©gration par parties uniquement sur la premiĂšre intĂ©grale, en faisant apparaĂźtre implicitement la dĂ©rivĂ©e de la fonction exponentielle :
    \[ \begin{align*} \int_0^1 x e^x \,dx &= \int_0^1 x (e^x)' \,dx \\ &= \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x \,dx \\ &= (1 \times e^1 - 0 \times e^0) - \int_0^1 e^x \,dx \\ &= e - \int_0^1 e^x \,dx \end{align*} \]
    • En substituant ce rĂ©sultat dans l'Ă©quation initiale, on obtient :
    \[ \begin{align*} \int_0^1 (x+a)e^x \,dx &= \left( e - \int_0^1 e^x \,dx \right) + a \int_0^1 e^x \,dx \\ &= e + (a-1)\int_0^1 e^x \,dx \end{align*} \]
    • L'Ă©noncĂ© nous indique que cette intĂ©grale vaut $e$. Nous pouvons donc poser l'Ă©galitĂ© suivante :
    \[ \begin{align*} e + (a-1)\int_0^1 e^x \,dx &= e \\ (a-1)\int_0^1 e^x \,dx &= 0 \end{align*} \]
    • La fonction exponentielle Ă©tant strictement positive sur l'intervalle d'intĂ©gration $[0, 1]$, son intĂ©grale $\int_0^1 e^x \,dx$ est strictement positive et donc non nulle.
    • Par consĂ©quent, pour que ce produit soit nul, il faut nĂ©cessairement que le second facteur s'annule :
    \[ \begin{align*} a - 1 &= 0 \\ a &= 1 \end{align*} \]