1. Calcul de l'intégrale $ A $
      • On Ă©tudie le signe du polynĂŽme: $~~3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
        Il s'annule en 0 et en 2, et est négatif sur l'intervalle $[0; 2]$.
      • En appliquant la relation de Chasles, on dĂ©coupe l'intĂ©grale :
        \[ A = \int_{-1}^0 (3x^2 - 6x) \,dx + \int_0^2 -(3x^2 - 6x) \,dx + \int_2^3 (3x^2 - 6x) \,dx \]
      • Une primitive de $~~3x^2 - 6x$ est $x^3 - 3x^2$. On Ă©value chaque terme :
        \[ \int_{-1}^0 (3x^2 - 6x) \,dx = 0 - (-1 - 3) = 4 \] \[ \int_0^2 -(3x^2 - 6x) \,dx = -( (8 - 12) - 0 ) = 4 \] \[ \int_2^3 (3x^2 - 6x) \,dx = (27 - 27) - (8 - 12) = 4 \]
      • On en dĂ©duit :
        \[ A = 4 + 4 + 4 = 12 \]
    2. Calcul de l'intégrale $ B $
      • Le trinĂŽme $~~x^2 - 7x + 12~$ a pour racines $3$ et $4$.
        Il est négatif sur $[3; 4]$.
      • On utilise la relation de Chasles :
        \[ B = \int_2^3 (x^2 - 7x + 12) \,dx - \int_3^4 (x^2 - 7x + 12) \,dx + \int_4^5 (x^2 - 7x + 12) \,dx \]
      • La primitive est $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 12x$. Les Ă©valuations aux bornes donnent :
        \[ F(2) = \frac{38}{3},\; F(3) = \frac{27}{2},\; F(4) = \frac{40}{3},\; F(5) = \frac{85}{6} \]
      • On calcule chaque morceau :
        \[ B = \left(\frac{27}{2} - \frac{38}{3}\right) - \left(\frac{40}{3} - \frac{27}{2}\right) + \left(\frac{85}{6} - \frac{40}{3}\right) \] \[ B = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6} \]

    1. Calcul de l'intégrale $ I $
      • La fonction $\ln x$ est nĂ©gative sur $\left[\frac{1}{e}; 1\right]$ et positive sur $[1; e]$.
      • On sĂ©pare l'intĂ©grale :
        \[ I = \int_{1/e}^1 -\ln x \,dx + \int_1^e \ln x \,dx \]
      • Une primitive de $\ln x$ est $x\ln x - x$. On obtient :
        \[ I = -[x\ln x - x]_{1/e}^1 + [x\ln x - x]_1^e \] \[ I = -\left( (0 - 1) - \left(-\frac{1}{e} - \frac{1}{e}\right) \right) + \left( (e - e) - (0 - 1) \right) \] \[ I = -\left( -1 + \frac{2}{e} \right) + 1 = 2 - \frac{2}{e} \]
    2. Calcul de l'intégrale $ J $
      • La fonction intĂ©grande est pĂ©riodique de pĂ©riode $\frac{\pi}{2}$. Sur l'intervalle $ [0; 2\pi] $, il y a 4 pĂ©riodes complĂštes.
      • De plus, sur $ \left[0; \frac{\pi}{2}\right] $, le sinus et le cosinus sont positifs. On a donc :
        \[ J = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) \,dx \]
      • On intĂšgre directement :
        \[ J = 4 \left[ -\cos x + \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] \[ J = 4 \left( (-0 + 1) - (-1 + 0) \right) = 4(2) = 8 \]

    1. Calcul de l'intégrale $ K $
      • L'expression $e^x - 1$ s'annule en $ 0 $; elle est nĂ©gative sur$ [-1; 0] $ et positive sur $[0; 1]$.
      • On dĂ©coupe l'intĂ©grale :
        \[ K = \int_{-1}^0 (1 - e^x) \,dx + \int_0^1 (e^x - 1) \,dx \]
      • On trouve les primitives :
        \[ K = \left[ x - e^x \right]_{-1}^0 + \left[ e^x - x \right]_0^1 \] \[ K = \left( (0 - 1) - (-1 - e^{-1}) \right) + \left( (e - 1) - (1 - 0) \right) \] \[ K = e^{-1} + e - 2 \]
    2. Calcul de l'intégrale $ L $
      • Sur $ [0; \pi] $, $\cos x$ est positif sur $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ et nĂ©gatif sur $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.
      • On utilise Chasles :
        \[ L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x \,dx - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \cos x \,dx \]
      • Une primitive de $\sin x \cos x$ est $\frac{1}{2}\sin^2 x$ (dĂ©rivĂ©e de la composĂ©e) :
        \[ L = \left[ \frac{1}{2}\sin^2 x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \left[ \frac{1}{2}\sin^2 x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \] \[ L = \left( \frac{1}{2} - 0 \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]

    1. Calcul de l'intégrale $ M $
      • On Ă©tudie le dĂ©nominateur : sur $ [-1; 3] $, $ x^2 - 9 \le 0 $, donc $|x^2 - 9| = 9 - x^2$. Le dĂ©nominateur devient $9 - x^2 + x^2 + 16 = 25$.
        Sur $ [3; 4] $, $ x^2 - 9 \ge 0 $, donc $|x^2 - 9| = x^2 - 9$. Le dénominateur devient $x^2 - 9 + x^2 + 16 = 2x^2 + 7$.
      • On sĂ©pare l'intĂ©grale en deux blocs, $M = M_1 + M_2$. Pour $M_1$ sur $ [-1; 3] $, on dĂ©compose le numĂ©rateur aux racines 1 et 2 :
        \[ M_1 = \frac{1}{25} \left( \int_{-1}^1 (3 - 2x) \,dx + \int_1^2 1 \,dx + \int_2^3 (2x - 3) \,dx \right) \] \[ M_1 = \frac{1}{25} \left( 6 + 1 + 2 \right) = \frac{9}{25} \]
      • Pour $M_2$ sur $ [3; 4] $, le numĂ©rateur est $2x - 3$. On a :
        \[ M_2 = \int_3^4 \frac{2x - 3}{2x^2 + 7} \,dx = \int_3^4 \frac{2x}{2x^2 + 7} \,dx - 3 \int_3^4 \frac{1}{2x^2 + 7} \,dx \]
      • Le premier terme de $M_2$ s'intĂšgre en $ \frac{1}{2}\ln(2x^2 + 7) $, et le second avec la fonction $\arctan$ :
        \[ M_2 = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{39}{25}\right) - \frac{3}{\sqrt{14}} \left( \arctan\left(4\sqrt{\frac{2}{7}}\right) - \arctan\left(3\sqrt{\frac{2}{7}}\right) \right) \]
      • On conclut par la somme :
        \[ M = \frac{9}{25} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{39}{25}\right) - \frac{3}{\sqrt{14}} \left( \arctan\left(4\sqrt{\frac{2}{7}}\right) - \arctan\left(3\sqrt{\frac{2}{7}}\right) \right) \]
    2. Calcul de l'intégrale $ N = \int_{-1}^2 (|x| + |x^2-1|) \,dx $
      • Les points de rupture sont aux racines de $x$ et $ x^2 - 1 $, soit $-1, 0, 1$. On dĂ©coupe l'intervalle $[-1; 2]$ en trois sous-intervalles.
      • Sur $ [-1; 0] $, on intĂšgre $(-x) + (1 - x^2) = 1 - x - x^2$ :
        \[ \int_{-1}^0 (1 - x - x^2) \,dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^0 = \frac{7}{6} \]
      • Sur $ [0; 1] $, on intĂšgre $x + (1 - x^2) = 1 + x - x^2$ :
        \[ \int_0^1 (1 + x - x^2) \,dx = \left[ x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{7}{6} \]
      • Sur $ [1; 2] $, on intĂšgre $x + (x^2 - 1) = x^2 + x - 1$ :
        \[ \int_1^2 (x^2 + x - 1) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right]_1^2 = \frac{17}{6} \]
      • La somme finale donne :
        \[ N = \frac{7}{6} + \frac{7}{6} + \frac{17}{6} = \frac{31}{6} \]
Simplification de l'expression avec l'arctangente
  • Utilisation de la formule d'addition trigonomĂ©trique
    • On rappelle la formule pour la diffĂ©rence de deux arctangentes. Pour tous rĂ©els $a$ et $b$ vĂ©rifiant $ab > -1$, on a :
      \[ \arctan a - \arctan b = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \]
    • Dans notre calcul pour $ M $, nous avons $ a = 4\sqrt{\frac{2}{7}} $ et $ b = 3\sqrt{\frac{2}{7}} $.
    • Puisque $a$ et $b$ sont strictement positifs, le produit $ab$ est positif, et la condition $ ab > -1 $ est bien respectĂ©e.
  • Application numĂ©rique
    • On calcule d'abord la diffĂ©rence au numĂ©rateur :
      \[ a - b = 4\sqrt{\frac{2}{7}} - 3\sqrt{\frac{2}{7}} = \sqrt{\frac{2}{7}} \]
    • On calcule ensuite le dĂ©nominateur :
      \[ 1 + ab = 1 + \left(4\sqrt{\frac{2}{7}}\right)\left(3\sqrt{\frac{2}{7}}\right) = 1 + 12 \times \frac{2}{7} = 1 + \frac{24}{7} = \frac{31}{7} \]
    • On effectue le quotient des deux rĂ©sultats :
      \[ \frac{a - b}{1 + ab} = \frac{\sqrt{\frac{2}{7}}}{\frac{31}{7}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \times \frac{7}{31} = \frac{7\sqrt{2}}{31\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{31} = \frac{\sqrt{14}}{31} \]
    • On en dĂ©duit la simplification du terme :
      \[ \arctan\left(4\sqrt{\frac{2}{7}}\right) - \arctan\left(3\sqrt{\frac{2}{7}}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{14}}{31}\right) \]
    • L'expression finale de l'intĂ©grale $ M $ se prĂ©sente alors sous une forme beaucoup plus compacte :
      \[ M = \frac{9}{25} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{39}{25}\right) - \frac{3}{\sqrt{14}} \arctan\left(\frac{\sqrt{14}}{31}\right) \]