1. Calcul de $ I_1 $
      • On pose $ u(x) = e^x + e^{-x} $.
      • La dĂ©rivĂ©e de cette fonction est $ u'(x) = e^x - e^{-x} $.
      • L'intĂ©grale est de la forme $ \int \frac{u'(x)}{u(x)} \,dx $, dont une primitive est $ \ln(|u(x)|) $.
      • On obtient donc :
        \[ I_1 = \left[ \ln(e^x + e^{-x}) \right]_0^{\ln 3} \]
      • En appliquant les bornes :
        \[ I_1 = \ln\left(3 + \frac{1}{3}\right) - \ln(1 + 1) = \ln\left(\frac{10}{3}\right) - \ln(2) = \ln\left(\frac{5}{3}\right) \]
    2. Calcul de $ I_2 $
      • On identifie la dĂ©rivĂ©e de la composĂ©e pour $ u(x) = x^2 - 4x $.
      • On a $ u'(x) = 2x - 4 = -2(2 - x) $, donc $ 2 - x = -\frac{1}{2}u'(x) $.
      • L'intĂ©grale est de la forme $ \int -\frac{1}{2}u'(x)e^{u(x)} \,dx $.
      • On obtient :
        \[ I_2 = \left[ -\frac{1}{2}e^{x^2 - 4x} \right]_2^3 \]
      • En appliquant les bornes :
        \[ I_2 = -\frac{1}{2}\left( e^{-3} - e^{-4} \right) \]

    1. Calcul de $ I_3 $
      • On pose $ u(x) = 1 + \ln x $.
      • Sa dĂ©rivĂ©e est $ u'(x) = \frac{1}{x} $.
      • On reconnaĂźt la forme $ \int \frac{u'(x)}{u(x)} \,dx $.
      • On obtient :
        \[ I_3 = \left[ \ln|1 + \ln x| \right]_1^e \]
      • Ce qui donne :
        \[ I_3 = \ln(1 + 1) - \ln(1 + 0) = \ln 2 \]
    2. Calcul de $ I_4 $
      • On pose $ u(x) = 3\tan x + 2 $.
      • Sa dĂ©rivĂ©e est $ u'(x) = \frac{3}{\cos^2 x} $, on peut donc rĂ©Ă©crire $ \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{3}u'(x) $.
      • L'intĂ©grale devient $ \int \frac{1}{3} \frac{u'(x)}{u(x)} \,dx $.
      • On obtient :
        \[ I_4 = \left[ \frac{1}{3}\ln|3\tan x + 2| \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \]
      • En calculant sachant que $ \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $ et $ \tan(0) = 0 $ :
        \[ I_4 = \frac{1}{3}\left( \ln(3\sqrt{3} + 2) - \ln 2 \right) \]

    1. Calcul de $ I_5 $
      • On pose $ u(x) = \ln(\cos x) $.
      • La dĂ©rivĂ©e de la composĂ©e donne $ u'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x $.
      • L'intĂ©grale est de la forme $ \int -\frac{u'(x)}{u(x)} \,dx $.
      • On obtient :
        \[ I_5 = \left[ -\ln|\ln(\cos x)| \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \]
      • Sachant que $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ et $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ :
        \[ I_5 = -\ln|-\ln(2)| + \ln\left|-\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right| = \ln\left( \frac{\ln(2/\sqrt{3})}{\ln 2} \right) \]
    2. Calcul de $ I_6 $
      • Avec le mĂȘme $ u(x) = \ln(\cos x) $ et la mĂȘme dĂ©rivĂ©e de la composĂ©e $ u'(x) = -\tan x $.
      • L'intĂ©grale s'Ă©crit $ \int -u'(x)(u(x))^{-3} \,dx $.
      • Une primitive de $ u'u^{-3} $ est $ -\frac{1}{2}u^{-2} $, donc ici on a le signe opposĂ© :
        \[ I_6 = \left[ \frac{1}{2\ln^2(\cos x)} \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \]
      • Ce qui donne :
        \[ I_6 = \frac{1}{2\ln^2(1/2)} - \frac{1}{2\ln^2(\sqrt{3}/2)} = \frac{1}{2\ln^2 2} - \frac{1}{2\ln^2(\sqrt{3}/2)} \]

    1. Calcul de $ I_7 $
      • On remarque que l'expression sous l'intĂ©grale est la dĂ©rivĂ©e d'un produit.
      • En effet, si $ f(x) = e^x \ln x $, alors sa dĂ©rivĂ©e est $ f'(x) = e^x \ln x + \frac{e^x}{x} $.
      • L'intĂ©grale est donc immĂ©diate :
        \[ I_7 = \left[ e^x \ln x \right]_1^3 \]
      • En appliquant les bornes :
        \[ I_7 = e^3 \ln 3 - e^1 \ln 1 = e^3 \ln 3 \]
    2. Calcul de $ I_8 $
      • On pose $ u(x) = \arctan x $.
      • Sa dĂ©rivĂ©e est $ u'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} $.
      • L'intĂ©grale est de la forme $ \int u'(x)(u(x))^2 \,dx $.
      • Une primitive est $ \frac{1}{3}u^3 $, ce qui donne :
        \[ I_8 = \left[ \frac{1}{3}(\arctan x)^3 \right]_0^1 \]
      • Puisque $ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} $ et $ \arctan(0) = 0 $ :
        \[ I_8 = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{4}\right)^3 = \frac{\pi^3}{192} \]

    1. Calcul de $ I_9 $
      • On remarque ici aussi la dĂ©rivĂ©e d'un produit.
      • En posant $ f(x) = e^x \sin x $, on a $ f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x $.
      • L'intĂ©gration donne donc directement :
        \[ I_9 = \left[ e^x \sin x \right]_0^{\pi} \]
      • En calculant :
        \[ I_9 = e^{\pi} \sin(\pi) - e^0 \sin(0) = 0 \]
    2. Calcul de $ I_{10} $
      • On identifie la dĂ©rivĂ©e de la composĂ©e en posant $ u(x) = \tan x $.
      • Sa dĂ©rivĂ©e est $ u'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} $.
      • L'intĂ©grale est de la forme $ \int u'(x)e^{u(x)} \,dx $.
      • On en dĂ©duit la primitive :
        \[ I_{10} = \left[ e^{\tan x} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \]
      • Comme $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ et $ \tan(0) = 0 $ :
        \[ I_{10} = e^1 - e^0 = e - 1 \]