1. Calcul de $ D_1 $
    1. On identifie la forme de la dérivée de la composée $u'(x)e^{u(x)}$ avec $u(x) = \frac{1}{x}$ et $u'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
    2. On réécrit l'intégrande : $\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} = - \left( -\frac{1}{x^2} \right) e^{\frac{1}{x}}$.
    3. Une primitive est donc $-e^{\frac{1}{x}}$.
    \[ D_1 = \left[ -e^{\frac{1}{x}} \right]_1^2 \] \[ D_1 = -e^{\frac{1}{2}} - \left( -e^1 \right) = e - \sqrt{e} \]
  2. Calcul de $ D_2 $
    1. On pose $u(x) = \cos^2 x$. Sa dérivée est $u'(x) = -2\cos x \sin x = -\sin(2x)$.
    2. L'intégrande s'écrit $ -(-\sin(2x))e^{\cos^2 x} = -u'(x)e^{u(x)} $, ce qui correspond à la dérivée de la composée pour la fonction exponentielle.
    3. Une primitive est $-e^{\cos^2 x}$.
    \[ D_2 = \left[ -e^{\cos^2 x} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] \[ D_2 = -e^{\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right)} - \left( -e^{\cos^2(0)} \right) \] \[ D_2 = -e^0 + e^1 = e - 1 \]
  3. Calcul de $ D_3 $
    1. L'expression s'Ă©crit $ \frac{1}{t} \ln t $, ce qui est de la forme $ u'(t)u(t) $ avec $u(t) = \ln t$ et $u'(t) = \frac{1}{t}$.
    2. Il s'agit de la dérivée de la composée dont une primitive est $\frac{1}{2}(u(t))^2 = \frac{1}{2}(\ln t)^2$.
    \[ D_3 = \left[ \frac{1}{2}(\ln t)^2 \right]_1^{e^2} \] \[ D_3 = \frac{1}{2}(\ln(e^2))^2 - \frac{1}{2}(\ln 1)^2 \] \[ D_3 = \frac{1}{2}(2)^2 - 0 = 2 \]
  4. Calcul de $ D_4 $
    1. On transforme les fonctions exponentielles de base quelconque en base $e$ : $a^x = e^{x\ln a}$.
    2. Ainsi, $2^x = e^{x\ln 2}$ (de primitive $\frac{2^x}{\ln 2}$) et $3^x = e^{x\ln 3}$ (de primitive $\frac{3^x}{\ln 3}$).
    \[ D_4 = \int_0^1 \left( e^{x\ln 2} + e^{x\ln 3} \right) \, dx \] \[ D_4 = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3^x}{\ln 3} \right]_0^1 \] \[ D_4 = \left( \frac{2}{\ln 2} + \frac{3}{\ln 3} \right) - \left( \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 3} \right) \] \[ D_4 = \frac{1}{\ln 2} + \frac{2}{\ln 3} \]
  5. Calcul de $ D_5 $
    1. On développe l'expression : $\left(x+\frac{1}{x}\right)(1+\ln x) = x + x\ln x + \frac{1}{x} + \frac{\ln x}{x}$.
    2. On détermine une primitive pour chaque terme :
      • Pour $ x $, une primitive est $\frac{x^2}{2}$.
      • Pour $ \frac{1}{x} $, une primitive est $\ln x$.
      • Pour $\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{x}\ln x$ (dĂ©rivĂ©e de la composĂ©e $ u'u $), une primitive est $\frac{1}{2}(\ln x)^2$.
      • Pour $ x\ln x $, en intĂ©grant par parties (avec $u=\ln x$ et $v'=x$), on obtient $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}$.
    3. On regroupe les primitives : $F(x) = \frac{x^2}{4} + \ln x + \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{1}{2}(\ln x)^2$.
    \[ D_5 = \left[ \frac{x^2}{4} + \ln x + \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{1}{2}(\ln x)^2 \right]_1^e \]
    • Évaluation en $e$ : $\frac{e^2}{4} + 1 + \frac{e^2}{2}(1) + \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{3e^2}{4} + \frac{3}{2}$.
    • Évaluation en $1$ : $\frac{1}{4} + 0 + 0 + 0 = \frac{1}{4}$.

    \[ D_5 = \frac{3e^2}{4} + \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3e^2 + 5}{4} \]
  6. Calcul de $ D_6 $
    1. On réécrit la fraction sous la forme $\frac{1/t}{\ln t}$.
    2. C'est la forme $\frac{u'(t)}{u(t)}$ avec $ u(t) = \ln t $, correspondant à la dérivée de la composée pour la fonction logarithme.
    \[ D_6 = \left[ \ln(\ln t) \right]_e^{e^4} \] \[ D_6 = \ln(\ln(e^4)) - \ln(\ln e) \] \[ D_6 = \ln(4) - \ln(1) = 2\ln 2 \]
  7. Calcul de $ D_7 $
    1. L'expression s'Ă©crit $\frac{1}{x}\cos(\ln x)$.
    2. On reconnaßt la forme $u'(x)\cos(u(x))$ avec $u(x) = \ln x$ et $u'(x) = \frac{1}{x}$ (dérivée de la composée du sinus).
    3. Une primitive est $\sin(\ln x)$.
    \[ D_7 = \left[ \sin(\ln x) \right]_1^{e^{\pi}} \] \[ D_7 = \sin(\ln(e^{\pi})) - \sin(\ln 1) \] \[ D_7 = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 \]
  8. Calcul de $ D_8 $
    1. On factorise le dénominateur : $x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)$. L'intégrande devient $\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$.
    2. On remarque que la dérivée de $u(x) = \ln(1+\sqrt{x})$ est $u'(x) = \frac{1}{1+\sqrt{x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2(x+\sqrt{x})}$.
    3. L'expression peut donc s'écrire $ 2 \times u'(x)u(x) $, ce qui fait apparaßtre directement la dérivée de la composée.
    4. Une primitive est $(u(x))^2 = (\ln(1+\sqrt{x}))^2$.
    \[ D_8 = \left[ (\ln(1+\sqrt{x}))^2 \right]_0^3 \] \[ D_8 = (\ln(1+\sqrt{3}))^2 - (\ln(1+0))^2 \] \[ D_8 = (\ln(1+\sqrt{3}))^2 \]
  9. Calcul de $ D_9 $
    1. On Ă©crit la fonction sous la forme $\frac{1}{t}(\ln t)^{-2}$.
    2. C'est la forme $u'(t)(u(t))^{-2}$ avec $u(t) = \ln t$ et $u'(t) = \frac{1}{t}$ (dérivée de la composée pour la fonction inverse).
    3. Une primitive est $\frac{(\ln t)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{\ln t}$.
    \[ D_9 = \left[ -\frac{1}{\ln t} \right]_e^{e^2} \] \[ D_9 = -\frac{1}{\ln(e^2)} - \left( -\frac{1}{\ln e} \right) \] \[ D_9 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \]
  10. Calcul de $ D_{10} $
    1. On développe le numérateur : $(e^x+1)(e^x+2) = e^{2x} + 3e^x + 2$.
    2. On divise chaque terme par $e^x$ : $\frac{e^{2x} + 3e^x + 2}{e^x} = e^x + 3 + 2e^{-x}$.
    3. Les primitives sont immédiates : $e^x + 3x - 2e^{-x}$.
    \[ D_{10} = \int_{\ln 2}^{\ln 3} \left( e^x + 3 + 2e^{-x} \right) \, dx \] \[ D_{10} = \left[ e^x + 3x - 2e^{-x} \right]_{\ln 2}^{\ln 3} \]
    • Évaluation en $\ln 3$ : $e^{\ln 3} + 3\ln 3 - 2e^{-\ln 3} = 3 + 3\ln 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} + 3\ln 3$.
    • Évaluation en $\ln 2$ : $e^{\ln 2} + 3\ln 2 - 2e^{-\ln 2} = 2 + 3\ln 2 - \frac{2}{2} = 1 + 3\ln 2$.

    \[ D_{10} = \left( \frac{7}{3} + 3\ln 3 \right) - \left( 1 + 3\ln 2 \right) \] \[ D_{10} = \frac{4}{3} + 3\ln\left(\frac{3}{2}\right) \]