1. Calcul de $ C_1 $
    1. L'intégrande est la somme de deux fonctions : $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) $ et $ -\sin(3x) $.
    2. On fait apparaßtre la dérivée de la composée pour chaque terme : $ 2 \times \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) $ et $ \frac{1}{3} \times (-3\sin(3x)) $.
    3. Les primitives respectives sont $ 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) $ et $ \frac{1}{3}\cos(3x) $.
    \[ C_1 = \left[ 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{3}\cos(3x) \right]_{0}^{\pi} \] \[ C_1 = \left( 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{3}\cos(3\pi) \right) - \left( 2\sin(0) + \frac{1}{3}\cos(0) \right) \] \[ C_1 = \left( 2(1) + \frac{1}{3}(-1) \right) - \left( 0 + \frac{1}{3}(1) \right) \] \[ C_1 = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
  2. Calcul de $ C_2 $
    1. On linéarise partiellement la puissance impaire du sinus : $ \sin^3(2x) = \sin(2x)(1 - \cos^2(2x)) = \sin(2x) - \sin(2x)\cos^2(2x) $.
    2. Pour le second terme, on identifie la dérivée de la composée : $ -\frac{1}{2} u'(x)(u(x))^2 $ avec $ u(x) = \cos(2x) $.
    \[ C_2 = \int_{0}^{\pi} \left( \sin(2x) + \frac{1}{2}(-2\sin(2x))\cos^2(2x) \right) \, dx \] \[ C_2 = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^3(2x)}{3} \right]_{0}^{\pi} \] \[ C_2 = \left( -\frac{1}{2}\cos(2\pi) + \frac{1}{6}\cos^3(2\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(0) + \frac{1}{6}\cos^3(0) \right) \] \[ C_2 = \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right) = 0 \]
  3. Calcul de $ C_3 $
    1. On identifie directement la dérivée de la composée $ u'(x)(u(x))^n $ avec $ u(x) = \sin x $, $ u'(x) = \cos x $ et $ n = 3 $.
    \[ C_3 = \left[ \frac{\sin^4 x}{4} \right]_{0}^{\pi} \] \[ C_3 = \frac{\sin^4(\pi)}{4} - \frac{\sin^4(0)}{4} = 0 - 0 = 0 \]
  4. Calcul de $ C_4 $
    1. L'intégrande est de la forme $ \frac{u'(x)}{u(x)} $ avec $ u(x) = 2+\sin x $, strictement positif sur $ \mathbb{R} $.
    2. C'est la dérivée de la composée associée à la fonction logarithme népérien.
    \[ C_4 = \left[ \ln(2+\sin x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \] \[ C_4 = \ln\left(2+\sin\frac{\pi}{2}\right) - \ln(2+\sin 0) \] \[ C_4 = \ln(3) - \ln(2) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) \]
  5. Calcul de $ C_5 $
    1. On transforme le produit en somme : $ \sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}(\sin(a+b) + \sin(a-b)) $.
    2. Ici, $ \sin(3x)\cos(2x) = \frac{1}{2}(\sin(5x) + \sin(x)) $.
    3. On intĂšgre ensuite chaque terme de la somme.
    \[ C_5 = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin(5x) + \sin x) \, dx \] \[ C_5 = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{5}\cos(5x) - \cos x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} \]
    • Évaluation en $ \frac{\pi}{4} $ : $ -\frac{1}{5}\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{5}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10} - \frac{5\sqrt{2}}{10} = -\frac{2\sqrt{2}}{5} $.
    • Évaluation en $ \frac{\pi}{3} $ : $ -\frac{1}{5}\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{3}{5} $.
    \[ C_5 = \frac{1}{2} \left( -\frac{2\sqrt{2}}{5} - \left(-\frac{3}{5}\right) \right) = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{10} \]
  6. Calcul de $ C_6 $
    1. On Ă©crit la tangente comme un quotient : $ \tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} $.
    2. On fait apparaßtre la dérivée de la composée au numérateur : $ -\frac{1}{2} \frac{-2\sin(2x)}{\cos(2x)} = -\frac{1}{2} \frac{u'(x)}{u(x)} $.
    \[ C_6 = -\frac{1}{2} \left[ \ln(\cos(2x)) \right]_{0}^{\frac{\pi}{8}} \] \[ C_6 = -\frac{1}{2} \left( \ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) - \ln(\cos(0)) \right) \] \[ C_6 = -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\ln 2 - \ln 2 \right) \] \[ C_6 = \frac{1}{4}\ln 2 \]
  7. Calcul de $ C_7 $
    1. On factorise l'expression : $ \tan^3 x + \tan x = \tan x (\tan^2 x + 1) $.
    2. On reconnaßt la forme de la dérivée de la composée $ u(x)u'(x) $ avec $ u(x) = \tan x $ et $ u'(x) = 1 + \tan^2 x $.
    3. Une primitive est donc $ \frac{1}{2}\tan^2 x $.
    \[ C_7 = \left[ \frac{1}{2}\tan^2 x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \] \[ C_7 = \frac{1}{2}\tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2}\tan^2(0) \] \[ C_7 = \frac{1}{2}(1)^2 - 0 = \frac{1}{2} \]
  8. Calcul de $ C_8 $
    1. On reconnaßt la forme de la dérivée de la composée avec une racine carrée. On pose $ u(x) = \sqrt{x} $, donc $ u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $.
    2. L'intégrande s'écrit $ 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos(\sqrt{x}) = 2 u'(x)\cos(u(x)) $.
    3. Une primitive est $ 2\sin(\sqrt{x}) $.
    \[ C_8 = \left[ 2\sin(\sqrt{x}) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi^2} \] \[ C_8 = 2\sin\left(\sqrt{\pi^2}\right) - 2\sin\left(\sqrt{\frac{\pi}{4}}\right) \] \[ C_8 = 2\sin(\pi) - 2\sin\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = -2\sin\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) \]
  9. Calcul de $ C_9 $
    1. On réutilise la forme de $ C_7 $ en écrivant : $ \tan^3 x = (\tan^3 x + \tan x) - \tan x $.
    2. La primitive de $ (\tan^3 x + \tan x) $ est $ \frac{1}{2}\tan^2 x $.
    3. La primitive de $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ est $ -\ln(\cos x) $ (dérivée de la composée $ -u'/u $).
    \[ C_9 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^3 x + \tan x) \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx \] \[ C_9 = C_7 - \left[ -\ln(\cos x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \] \[ C_9 = \frac{1}{2} + \left( \ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) - \ln(\cos 0) \right) \] \[ C_9 = \frac{1}{2} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1 - \ln 2}{2} \]
  10. Calcul de $ C_{10} $
    1. La fonction est de la forme $ \frac{u'}{u^4} $ avec $ u(x) = 2+\sin(2x) $ et $ u'(x) = 2\cos(2x) $.
    2. On fait apparaßtre la constante en ajustant le numérateur : $ \frac{1}{2} \frac{2\cos(2x)}{(2+\sin(2x))^4} $.
    3. C'est la dérivée de la composée, dont une primitive est $ \frac{1}{2} \frac{(2+\sin(2x))^{-3}}{-3} = -\frac{1}{6(2+\sin(2x))^3} $.
    \[C_{10} = \left[ -\frac{1}{6(2+\sin(2x))^3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \] \[ C_{10} = -\frac{1}{6\left(2+\sin\frac{2\pi}{3}\right)^3} - \left( -\frac{1}{6(2+\sin 0)^3} \right) \] \[ C_{10} = -\frac{1}{6\left(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3} + \frac{1}{6(8)} \] \[ C_{10} = \frac{1}{48} - \frac{4}{3(4+\sqrt{3})^3} \]