1. Preuve par le TAF
    • Soit $f$ une fonction dĂ©rivable et convexe sur $I$ ($f'$ est croissante). Soit $a \in I$.
    • D'aprĂšs le TAF, pour tout $x \neq a$, il existe $c$ entre $a$ et $x$ tel que : \[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(c) \]
    • Cas $x > a$ : On a $a < c < x$, d'oĂč $f'(c) \geq f'(a)$.
      Alors $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'(a) \implies f(x) - f(a) \geq f'(a)(x - a)$.
    • Cas $x < a$ : On a $x < c < a$, d'oĂč $f'(c) \leq f'(a)$.
      En multipliant par $-1$, on a $-\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{f(x) - f(a)}{a - x} = -f'(c)$.
      Comme $-f'(c) \geq -f'(a)$ et $(a - x) > 0$, on obtient :
      $f(x) - f(a) \geq -f'(a)(a - x) = f'(a)(x - a)$.
    • Conclusion : Dans tous les cas, $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$. La courbe est au-dessus de sa tangente.
  2. Application : $e^x \geq 1 + x$
    • La fonction $x \mapsto e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
    • Sa tangente en $0$ a pour Ă©quation $y = x + 1$.
    • D'aprĂšs la propriĂ©tĂ© prĂ©cĂ©dente, on en dĂ©duit que pour tout rĂ©el $x$ : $e^x \geq 1 + x$.