1. Calcul de $L_1 = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^x$ :
    En posant $X = -x$, on a $ \lim_{X \to +\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^{-X} = \lim_{X \to +\infty} \left( \frac{3}{2} \right)^X$.
    Comme $\frac{3}{2} > 1$, alors $[ L_1 = +\infty ]$.
  2. Calcul de $L_2 = \lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}}$ :
    $x^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x} \ln x} = e^{2\sqrt{x} \ln \sqrt{x}}$.
    Par croissance comparée, $\lim_{u \to 0^+} u \ln u = 0$. Donc l'exposant tend vers 0.
    $[ L_2 = e^0 = 1 ]$.
  3. Calcul de $L_3 = \lim_{x \to 1} \frac{x^{\sqrt{x}} - 1}{x - 1}$ :
    C'est le nombre dérivé en 1 de $f(x) = x^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x} \ln x}$.
    $f'(x) = \left( \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x} \right) e^{\sqrt{x} \ln x}$.
    $f'(1) = (0 + 1) e^0 = 1$.
    $[ L_3 = 1 ]$.
  1. Calcul de $L_4 = \lim_{x \to 0^+} (1 - x)^{\frac{1}{x}}$ :
    $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln(1-x)}{x}}$. Or $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{-x} = 1$, donc $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} = -1$.
    $[ L_4 = e^{-1} = \frac{1}{e} ]$.
  2. Calcul de $L_5 = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} (\tan x)^{\cos x}$ :
    Posons $h = \frac{\pi}{2} - x \to 0^+$. Alors $\cos x = \sin h$ et $\tan x = \frac{1}{\tan h}$.
    L'exposant est $\sin h \ln(\frac{1}{\tan h}) = -\sin h \ln(\tan h) = -\frac{\sin h}{h} \cdot h \ln(\frac{\tan h}{h} \cdot h)$.
    Comme $\frac{\tan h}{h} \to 1$, cela se ramĂšne Ă  $-1 \cdot (h \ln 1 + h \ln h) \to 0$.
    $[ L_5 = e^0 = 1 ]$.
  3. Calcul de $L_6 = \lim_{x \to 0^+} (x^2)^{\frac{1}{\ln^2 x}}$ :
    $(x^2)^{\frac{1}{\ln^2 x}} = e^{\frac{2 \ln x}{\ln^2 x}} = e^{\frac{2}{\ln x}}$.
    Quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$, donc $\frac{2}{\ln x} \to 0$.
    $[ L_6 = e^0 = 1 ]$.
  1. Calcul de $L_7 = \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}}$ :
    $x^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln x}{x}}$. Par croissance comparée, $\frac{\ln x}{x} \to 0$.
    $[ L_7 = 1 ]$.
  2. Calcul de $L_8 = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + \sin x}{1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}$ :
    L'exposant est $\frac{\ln(1 + \sin x) - \ln(1 + x)}{x} = \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} - \frac{\ln(1+x)}{x}$.
    Par limites usuelles : $1 \cdot 1 - 1 = 0$.
    $[ L_8 = e^0 = 1 ]$.
  3. Calcul de $L_9 = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{4x + 15}{4x + 7} \right)^x$ :
    On commence par réécrire l'expression : \[ \frac{4x + 15}{4x + 7} = \frac{(4x + 7) + 8}{4x + 7} = 1 + \frac{8}{4x + 7} \] Ainsi, $\ln L_9 = x \ln\left( 1 + \frac{8}{4x + 7} \right)$.

    Posons le changement de variable : $ X = \frac{8}{4x+7} $.
    Quand $ x \to +\infty $, on a $ X \to 0 $.

    L'expression devient : \[ \ln L_9 = x \cdot X \cdot \frac{\ln(1+X)}{X} \] Étudions les deux facteurs sĂ©parĂ©ment :
    • D'une part, $ xX = \frac{8x}{4x+7} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{8}{4} = 2 $.
    • D'autre part, par limite usuelle, $ \frac{\ln(1+X)}{X} \xrightarrow[X \to 0]{} 1 $.
    Par produit, $ \ln L_9 \to 2 \times 1 = 2 $.
    On en conclut que $ [ L_9 = e^2 ] $.
  1. Calcul de $L_{10} = \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ :
    L'exposant est $\frac{\ln(1 + (\cos x - 1))}{\cos x - 1} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2}$.
    Par limites usuelles : $1 \cdot (-1/2) = -1/2$.
    $[ L_{10} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} ]$.
  3. Calcul de $L_{11} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\ln x}{\ln(x+1)} \right)^{x \ln x}$ :
    Posons $\ln L_{11} = x \ln x \cdot \ln \left( \frac{\ln x}{\ln(x+1)} \right)$.
    On utilise la transformation : \[\frac{\ln x}{\ln(x+1)} = \frac{\ln x}{\ln x + \ln(1+1/x)} = \frac{1}{1+t} \] avec $~~t = \frac{\ln(1+1/x)}{\ln x} $.
    Quand $~ x \to +\infty $, $ ~t \to 0 $.
    L'expression devient : \[ \ln L_{11} = - (x \ln x \cdot t) \cdot \frac{\ln(1+t)}{t} \] Or :
    • \[ x \ln x \cdot t = \dfrac{\ln(1 + 1/x)}{1/x} \xrightarrow [x \to +\infty]{}1 \]
    • \[ \frac{\ln(1+t)}{t} \xrightarrow[t \to 0]{} 1 \]
    Par consĂ©quent: \[ \ln L_{11} \to -1 \times 1 = -1 \] d'oĂč $ [ L_{11} = \frac{1}{e} ] $.
  4. Calcul de $L_{12} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{x - m} \right)^x$ :
    $\left( 1 - \frac{m}{x} \right)^{-x} = \exp[ -x \ln(1 - m/x) ]$.
    Comme $-x \ln(1 - m/x) \sim -x(-m/x) = m$.
    $[ L_{12} = e^m ]$.
  5. Calcul de $L_{13} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^x - x}{\ln(1 + \sqrt{x^2 - 1})}$ :
    On dĂ©compose l'expression ainsi : \[ \frac{x^x - x}{\ln(1 + \sqrt{x^2 - 1})} = \frac{x^x - x}{x-1} \times \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \times \frac{\sqrt{x^2-1}}{\ln(1+\sqrt{x^2-1})} \] Étudions chaque terme quand $x \to 1^+$ :
    • $\frac{x^x - x}{x-1}$ est le taux d'accroissement en 1 de $g(x)=x^x-x$. Sa limite est $g'(1) = 0$.
    • $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ tend vers $\sqrt{\frac{0}{2}} = 0$.
    • $\frac{\sqrt{x^2-1}}{\ln(1+\sqrt{x^2-1})}$ tend vers 1 (limite usuelle $\frac{X}{\ln(1+X)}$ avec $X = \sqrt{x^2-1}$).
    Par produit, on obtient : $ [ L_{13} = 0 \times 0 \times 1 = 0 ] $.
  6. Calcul de $L_{14} = \lim_{x \to +\infty} x \left[ \left( m + \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{x}} - 1 \right]$ :
    Posons $t = \frac{1}{x}$. Quand $x \to +\infty$, $t \to 0^+$.
    L'expression devient : $ \lim_{t \to 0^+} \frac{(m + t)^t - 1}{t} $.
    On reconnaßt le nombre dérivé en 0 de la fonction $h(t) = (m+t)^t$.
    Comme $h(t) = e^{t \ln(m+t)}$, sa dérivée est $h'(t) = [\ln(m+t) + \frac{t}{m+t}]e^{t \ln(m+t)}$.
    On en déduit : $ [ L_{14} = h'(0) = \ln m ] $.