1. Fonction $ f(x) = e^{-2x+5} $
    On reconnaît la forme $ e^{u(x)} $ avec $ u(x) = -2x+5 $, d'où $ u'(x) = -2 $. On écrit : \[ f(x) = -\frac{1}{2}(-2e^{-2x+5}) \] Une primitive sur $ \mathbb{R} $ est : \[ F(x) = -\frac{1}{2}e^{-2x+5} \]
  2. Fonction $ f(x) = \sqrt{e^{3x}} $
    On transforme l'expression : $ f(x) = (e^{3x})^{1/2} = e^{\frac{3}{2}x} $. Une primitive sur $ \mathbb{R} $ est : \[ F(x) = \frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}x} \]
  3. Fonction $ f(x) = xe^{x^2+1} $
    On reconnaît la forme $ u'(x)e^{u(x)} $ à un facteur près avec $ u(x) = x^2+1 $ et $ u'(x) = 2x $. \[ f(x) = \frac{1}{2}(2xe^{x^2+1}) \] Une primitive sur $ \mathbb{R} $ est : \[ F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2+1} \]
  4. Fonction $ f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{2e^{2x} + 3}} $
    On cherche la forme $ \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} $. Soit $ u(x) = 2e^{2x} + 3 $, alors $ u'(x) = 4e^{2x} $. \[ f(x) = \frac{1}{4} \frac{4e^{2x}}{\sqrt{2e^{2x} + 3}} \] Sachant qu'une primitive de $ \frac{u'}{\sqrt{u}} $ est $ 2\sqrt{u} $ : \[ F(x) = \frac{1}{4} \times 2\sqrt{2e^{2x} + 3} = \frac{1}{2}\sqrt{2e^{2x} + 3} \]
  5. Fonction $ f(x) = \frac{e^{-\arctan x}}{1+x^2} $
    On a la forme $ u'(x)e^{u(x)} $ avec $ u(x) = -\arctan x $ et $ u'(x) = -\frac{1}{1+x^2} $. \[ f(x) = - \left( -\frac{1}{1+x^2} e^{-\arctan x} \right) \] Une primitive sur $ \mathbb{R} $ est : \[ F(x) = -e^{-\arctan x} \]
  6. Fonction $ f(x) = \frac{e^x}{e^x+1} $
    On reconnaît la forme $ \frac{u'(x)}{u(x)} $ avec $ u(x) = e^x+1 > 0 $. Une primitive sur $ \mathbb{R} $ est : \[ F(x) = \ln(e^x + 1) \]
  7. Fonction $ f(x) = \cos x \cdot e^{\sin x} $
    C'est la forme directe $ u'(x)e^{u(x)} $ avec $ u(x) = \sin x $. Une primitive sur $ \mathbb{R} $ est : \[ F(x) = e^{\sin x} \]
  8. Fonction $ f(x) = \frac{e^{4x} + e^x}{e^{4x} + 4e^x + 3} $
    On remarque que le numérateur est la dérivée du dénominateur divisée par 4 : Soit $ u(x) = e^{4x} + 4e^x + 3 $, alors $ u'(x) = 4e^{4x} + 4e^x = 4(e^{4x} + e^x) $. \[ f(x) = \frac{1}{4} \frac{u'(x)}{u(x)} \] Une primitive sur $ \mathbb{R} $ est : \[ F(x) = \frac{1}{4} \ln(e^{4x} + 4e^x + 3) \]
  9. Fonction $ f(x) = (1 + \tan^2 x)e^{-\tan x} $
    On sait que $ [\tan x]' = 1 + \tan^2 x $. Soit $ u(x) = -\tan x $, alors $ u'(x) = -(1 + \tan^2 x) $. \[ f(x) = - ( -(1 + \tan^2 x) e^{-\tan x} ) \] Une primitive sur tout intervalle inclus dans le domaine de définition est : \[ F(x) = -e^{-\tan x} \]
  10. Fonction $ f(x) = 2^x $
    On utilise la définition de l'exponentielle de base $ a $ : $ 2^x = e^{x \ln 2} $. C'est la forme $ e^{ax} $ dont la primitive est $ \frac{1}{a}e^{ax} $. Une primitive sur $ \mathbb{R} $ est : \[ F(x) = \frac{1}{\ln 2} 2^x \]