Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe $x_0 \in ]a, b[$ tel que $f(x_0) = 0$.

• Puisque $f(a)=f(x_0)=f(b)=0$, le théorème de Rolle assure l'existence de deux points $c_1 \in ]a, x_0[$ et $c_2 \in ]x_0, b[$ tels que $f'(c_1)=0$ et $f'(c_2)=0$.
• En appliquant à nouveau le théorème de Rolle à la fonction $f'$ sur $[c_1, c_2]$, il existe $d \in ]c_1, c_2[$ tel que $f''(d) = 0$.
• Ceci contredit l'hypothèse $\forall x \in ]a, b[, f''(x) \neq 0$.

Conclusion : La fonction $f$ ne s'annule jamais sur $]a, b[$.