1. Taux d'accroissement symétrique
En introduisant $f(x_0)$, on Ă©crit :
\[ \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} = \frac{1}{2}\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} + \frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\right) \]Par passage Ă la limite quand $h \to 0$, on obtient bien $f'(x_0)$.
2. Calcul de la limite en $x_0$
Posons la fonction auxiliaire $g(x) = xf(x_0) - x_0f(x)$.
- On remarque que $g(x_0) = x_0f(x_0) - x_0f(x_0) = 0$.
- La limite recherchée est donc : \[ \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0) \]
- En dérivant $g(x)$, on trouve $$g'(x) = f(x_0) - x_0f'(x)$$
On obtient alors : $$g'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0} = f(x_0) - x_0f'(x_0)$$.