1. Cas initial :
    Si $f(0)=0$, le résultat est immédiat.
    Supposons $f(0) > 0$.
    Soit $h(x) = \frac{f(x)}{x}$ continue sur $]0, +\infty[$.
  2. Par hypothĂšse:
    $~\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = \ell < 1$.
    Pour $\epsilon = \frac{1-\ell}{2}$, il existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tel que : \[ x \geq n_1 \implies h(x) < \frac{1+\ell}{2} < 1 \] De mĂȘme, comme $\lim_{x \to 0^+1} h(x) = +\infty$, il existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tel que : \[ x \leq \frac{1}{n_2} \implies h(x) > 1 \]
  3. Conclusion par le TVI :
    En prenant $n$ assez grand ($n \geq \max(n_1, n_2)$), on travaille sur $I = [\frac{1}{n}, n]$.
    On a $h(n) < 1$ et $h(\frac{1}{n}) > 1$.
    Par continuité de $h$ sur $I$, il existe $c \in I$ tel que $h(c)=1$, soit $f(c)=c$.