- Supposons, par l'absurde, que $f$ n'admet aucun point fixe sur $\mathbb{R}$.
- Alors, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) - x \neq 0$.
- Comme $f$ est continue, la fonction: $$g(x) = f(x) - x$$ est Ă©galement continue sur $\mathbb{R}$.
- D'aprÚs le théorÚme des valeurs intermédiaires, si une fonction continue ne s'annule jamais, elle garde un signe constant sur $\mathbb{R}$.
- Ătudions le cas oĂč $g(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
- On a alors $f(x) > x$ pour tout $x$.
- En particulier, pour $x = a$, on a $f(a) > a$.
- Or $~g(f(a))>0~$ implique, $~f(f(a)) > f(a)$.
- Or, $f(f(a)) = a$, ce qui implique $a > f(a)$.
- Contradiction entre $~(f(a) > a)~$ et $~(a > f(a))~$.
- Le raisonnement est analogue pour $~g(x) < 0$.
- Conclusion : $~f~$ admet au moins un point fixe $~c~$.