Soit la fonction $~h~$ définie sur $~[a, b~]$ par: $$~h(x) = f(x) - g(x)$$

1. Comme $f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$, leur différence $h$ est continue sur $[a, b]$.
2. Calculons les images aux bornes :
   1. $h(a) = f(a) - g(a) < 0~~$ (car $~f(a) < g(a)$).
   2. $h(b) = f(b) - g(b) > 0~~$ (car $~f(b) > g(b)$).
3. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $0$ est compris entre $h(a)$ et $h(b)$, donc il existe au moins un réel $x_0 \in ]a, b[$ tel que $h(x_0) = 0$,
   Soit $~f(x_0) = g(x_0)$.