Existence d'un point fixe:

1. Fonction auxiliaire :
   Soit $g(x) = f(x) - x$.
   $g$ est continue sur $[0, 1]$.


2. Signes aux bornes :
   On a: $~g(0) = f(0) \geq 0~$ et $~g(1) = f(1) - 1 \leq 0$.


3. Théorème des Valeurs Intermédiaires :
   Comme $g(1) \leq 0 \leq g(0)$, il existe $c \in [0, 1]$ tel que $~g(c) = 0$.


4. Conclusion :
   $g(c) = 0 \iff f(c) = c$.
   On a donc montré l'exisence d'un $c\in ]0 , 1[ : $ tel que: $~f(c) = c$