Points clés pour comprendre :

• Se ramener à zéro : Utiliser le changement de variable $h = x - a$ si la limite est en $a \neq 0$.
• L'expression conjuguée : Indispensable dès que des racines carrées créent une forme indéterminée "0/0" (Question 7).
• Factorisation : Si $x \to a$ annule le dénominateur, il faut extraire le facteur $(x-a)$ ou $(\cos x - \cos a)$ pour simplifier l'expression.
• Limites usuels : En $0$, on peut retenir que: $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(ax)}{ax}=\lim\limits_{x\to 0}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan(ax)}{ax}=\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1-\cos ax}{\frac{(ax)^2}{2}}\right)=1$$.

1. Limite 1 :
   \[ \frac{\sin 3x}{7x} = \left( \frac{\sin 3x}{3x} \right) \left( \frac{3}{7} \right) \] Soit : $~ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{7x} = \frac{3}{7}$


2. Limite 2 :
   \[ \frac{\tan 5x}{\sin x} = \left( \frac{\tan 5x}{5x} \right) \left( \frac{x}{\sin x} \right) \times 5 \] Soit : $~ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\sin x} = 5$


3. Limite 3 :
   \[ \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \left( \frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} \right) \times 4 \] Soit : $~ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = 2$


4. Limite 4 :
   \[ \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{x}} = \left( \frac{\tan x}{x} - \frac{\sin x}{x} \right) \sqrt{x} \] Soit : $~ \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{x}} = 0$


5. Limite 5 :
   \[ \frac{\sin x - \tan x}{x^3} = \left( \frac{\sin x}{x} \right) \left( \frac{\cos x - 1}{x^2} \right) \frac{1}{\cos x} \] Soit : $~ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3} = -\frac{1}{2}$


6. Limite 6 :
   \[ \frac{\sin x \sin 2x}{1 - \cos x} = \left( \frac{\sin x}{x} \right) \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right) \left( \frac{2x^2}{1 - \cos x} \right) \times 2 \] Soit : $~ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \sin 2x}{1 - \cos x} = 4$


7. Limite 7 :
   \[ \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{x} = \frac{2 \sin x}{x(\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})} \] Soit : $~ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{x} = 1$


8. Limite 8 :
   \[ \frac{1 - \cos^3 x}{x \sin 4x} = \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \right) \left( \frac{4x}{\sin 4x} \right) \frac{1 + \cos x + \cos^2 x}{4} \] Soit : $~ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^3 x}{x \sin 4x} = \frac{3}{8}$


9. Limite 9 :
   \[ \frac{1 - \cos 5x}{(x^2 + x)\tan 3x} = \left( \frac{1 - \cos 5x}{25x^2} \right) \left( \frac{3x}{\tan 3x} \right) \frac{25}{3(x+1)} \] Soit : $~ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 5x}{(x^2 + x)\tan 3x} = \frac{25}{6}$


10. Limite 10 :
    \[ \frac{1 - x^2}{\sin \pi x} = \left( \frac{\pi h}{\sin \pi h} \right) \frac{h+2}{\pi} \] Soit : $~ \lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin \pi x} = \frac{2}{\pi}$


11. Limite 11 :
    \[ \frac{\tan^2 x + 2\tan x - 3}{\sin x - \cos x} = \frac{\tan x + 3}{\cos x} \] Soit : $~ \lim_{x \to \pi/4} \frac{\tan^2 x + 2\tan x - 3}{\sin x - \cos x} = 4\sqrt{2}$


12. Limite 12 :
    \[ \frac{\cos 2x + \cos x}{2\cos x - 1} = \cos x + 1 \] Soit : $~ \lim_{x \to \pi/3} \frac{\cos 2x + \cos x}{2\cos x - 1} = \frac{3}{2}$