Système (S_1)
\[ \begin{cases} 3^x + 7^y = 16 \\ 3^x - 7^y = 2 \end{cases} \]
  • Par addition : \( 2 \cdot 3^x = 18 \implies 3^x = 9 \implies x = 2 \).
  • Par soustraction : \( 2 \cdot 7^y = 14 \implies 7^y = 7 \implies y = 1 \).
Solution : \( S = \{(2 ; 1)\} \)
Système (S_2)
\[ \begin{cases} 2^{x-2} \cdot 2^{y-1} = 1 \\ 2^x + 2^y = 5\sqrt{2} \end{cases} \]
  • En multipliant la première équation par $(2^3)$ on obtient : \[ \begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 8 \\ 2^x + 2^y = 5\sqrt{2} \end{cases} \]
  • Posons \( X = 2^x \) et \( Y = 2^y \). $~(S_2)~$ devient: \[ \begin{cases} XY=8\\\\X+Y=5\sqrt 2 \end{cases} \].
  • Le système est symétrique en X,Y
  • Équation quadratique : \( T^2 - 5\sqrt{2}T + 8 = 0 \). \( \Delta = 50 - 32 = 18 = (3\sqrt{2})^2 \).
  • Les racines sont \( 4\sqrt{2} \) et \( \sqrt{2} \).
  • \( 2^x = 4\sqrt{2} = 2^{\frac{5}{2}} \implies x = \frac{5}{2} \).
  • \( 2^y = \sqrt{2} \implies y = \frac{1}{2} \).
Solution : \( S = \{(\frac{5}{2} ; \frac{1}{2}) ; (\frac{1}{2} ; \frac{5}{2})\} \)
Système (S_3)
\[ \begin{cases} 4^x \times 5^y = 5^{2x+1} \\ 20^x = 4 \cdot 25^y \end{cases} \] En posant \( a = \ln 4 \) et \( b = \ln 5 \), le système linéarisé est :
\[ \begin{cases} (a-2b)x + by = b \\ (a+b)x - 2by = a \end{cases} \]
  • En multipliant la ligne 1 par 2 et en additionnant, on obtient : \( 3(a-b)x = a+2b \).
  • D'où \( x = \frac{\ln 4 + 2\ln 5}{3(\ln 4 - \ln 5)} \).
Solution : \( x = \frac{\ln 100}{3 \ln(0,8)} \) (valeur de \( y \) déduite par substitution).
Système (S_4)
\[ \begin{cases} 2^{x+y} = 16\sqrt{2} \\ 2^x + 2^{x-y} = 12\sqrt{2} \end{cases} \]
  • \( 2^{x+y} = 2^{9/5} \implies x+y = 9/5 \implies y = 9/5 - x \).
  • Substituons dans la seconde : \( 2^x + 2^{x-(9/5-x)} = 12\sqrt{2} \implies 2^x + 2^{2x-9/5} = 12\sqrt{2} \).
  • Posons \( X = 2^x \) : on obtient: \[5 X^2 + 16\sqrt{2}X - 384 = 0 \].
  • \( \Delta = 512 + 1536 = 2048 = (32\sqrt{2})^2 \).
  • \( X = \frac{-16\sqrt{2} + 32\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} = 2^{7/2} \implies x = 7/2 \).
  • D'où \( y = 9/2 - 7/2 = 1 \).
Solution : \( S = \{(3,5 ; 1)\} \)
Système (S_5)
Ce système s'écrit: \[ \begin{cases} e^{\frac{x}{x-1}} + e^{\frac{y}{y+1}} = 13 \\ e^{\frac{x}{x-1} + \frac{y}{y+1}} = 42 \end{cases} \]
  • $e^{\frac{x}{x-1}}$ + $e^{\frac{y}{y+1}}$ sont les racines de la quadratique: \[ T^2-13T+42=0 \] qui sont respectivement 6 et 7
  • Si \( e^{\frac{x}{x-1}} = 6 \implies x = \frac{\ln 6}{\ln 6 - 1} \).
  • Si \( e^{\frac{y}{y+1}} = 7 \implies y = \frac{\ln 7}{1 - \ln 7} \).
Solution : \( S = \{(\frac{\ln 6}{\ln 6-1} ; \frac{\ln 7}{1-\ln 7}) ; (\frac{\ln 7}{\ln 7-1} ; \frac{\ln 6}{1-\ln 6})\} \)
Système (S_6)
\[ \begin{cases} 5^{x+2y} &= 5^2 &\implies x + 2y = 2 \\ \log_3(x(2y+3)) &= \log_3(3) &\implies x(2y+3) = 3 \end{cases} \]
  • De la première : \( 2y = 2-x \).
  • Substituons dans la seconde : \( x(2-x+3) = 3 \implies x(5-x) = 3 \implies x^2 - 5x + 3 = 0 \).
  • \( \Delta = 25 - 12 = 13 \). Les racines sont \( x_1 = \frac{5-\sqrt{13}}{2} \) et \( x_2 = \frac{5+\sqrt{13}}{2} \).
  • On calcule \( y \) via \( y = \frac{2-x}{2} \).
Solution : \( S = \{(\frac{5-\sqrt{13}}{2} ; \frac{\sqrt{13}-1}{4}) ; (\frac{5+\sqrt{13}}{2} ; \frac{-1-\sqrt{13}}{4})\} \)