1. Loi de composition interne
Soient $a \in J$ et $b \in J$. Par définition, $a \geq 1$ et $b \geq 1$.
  • On a $\sqrt{a} \geq 1$ et $\sqrt{b} \geq 1$.
  • En sommant, $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq 2$.
  • En retranchant 1, $\sqrt{a} + \sqrt{b} - 1 \geq 1$.
  • La fonction carrĂ© Ă©tant strictement croissante sur $[1, +\infty[$, on en dĂ©duit : \[ a \bot b = (\sqrt{a} + \sqrt{b} - 1)^2 \geq 1^2 = 1 \]
Comme $a \bot b \geq 1$, alors $a \bot b \in J$.
La loi $\bot$ est une loi de composition interne dans $J$.
2. Commutativité et Associativité
  • CommutativitĂ© :
    Pour tout $(a,b) \in J^2$ : \[ a \bot b = (\sqrt{a} + \sqrt{b} - 1)^2 = (\sqrt{b} + \sqrt{a} - 1)^2 = b \bot a \] La loi $\bot$ est donc commutative.

  • AssociativitĂ© :
    Soient $a, b, c \in J$. Calculons d'une part : \[ (a \bot b) \bot c = (\sqrt{a \bot b} + \sqrt{c} - 1)^2 = (\sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b} - 1)^2} + \sqrt{c} - 1)^2 \] Comme $\sqrt{a} + \sqrt{b} - 1 \geq 1$ alors: \[ (a \bot b) \bot c = (\sqrt{a} + \sqrt{b} - 1 + \sqrt{c} - 1)^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2)^2 \] D'autre part : \begin{align*} a \bot (b \bot c) & = (\sqrt{a} + \sqrt{b \bot c} - 1)^2 \\ a \bot (b \bot c)&= (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 1 - 1)^2\\ a \bot (b \bot c)& = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2)^2 \end{align*} Par conséquent: $$(a \bot b) \bot c = a \bot (b \bot c)$$ E la loi $\bot$ est associative.
3. ÉlĂ©ment neutre
Cherchons $e \in J$ tel que pour tout $a \in J$, $a \bot e = a$. \[ \begin{aligned} a \bot e = a &\iff (\sqrt{a} + \sqrt{e} - 1)^2 = a \\ &\iff \sqrt{a} + \sqrt{e} - 1 = \sqrt{a} \quad (\text{car } \sqrt{a} + \sqrt{e} - 1 \geq 1)\\ &\iff \sqrt{e} - 1 = 0 \\ &\iff e = 1 \end{aligned} \] Comme $1 \in J$, la loi $\bot$ admet $1$ comme élément neutre.