Pour tout $x \in ]-1, 1[$, il existe un unique $a \in \mathbb{R}$ tel que $x = \tanh(a)$. \[ \frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2(a)}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cosh^2(a)}}} = \cosh(a) \quad (\text{car } \cosh(a) > 0) \]

La matrice $M_x$ se réécrit alors sous la forme $A(a)$ :

\[ A(a) = \cosh(a) \begin{pmatrix} 1 & \tanh(a) \\ \tanh(a) & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh(a) & \sinh(a) \\ \sinh(a) & \cosh(a) \end{pmatrix} \]
2. Morphisme de groupes

Considérons l'application $\phi$ définie par :

\begin{align*} \phi : &\mathbb{R} \longrightarrow G\\ &a \longmapsto \begin{pmatrix} \cosh(a) & \sinh(a) \\ \sinh(a) & \cosh(a) \end{pmatrix}\\ \end{align*}

Soient $a, b \in \mathbb{R}$. On rappelle les formules de trigonométrie hyperboliques :

  • $(\cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b) = \cosh(a+b)$
  • $(\cosh a \sinh b + \sinh a \cosh b) = \sinh(a+b)$

On en déduit : $$\phi(a) \times \phi(b) = \phi(a+b)$$ L'application $\phi$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb{R}, +)$ vers $(G, \times)$.

3. Caractérisation du groupe
  • Bijectiion : $\phi$ est bijective car $\tanh$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $]-1, 1[$. C'est donc un isomorphisme.
  • ConsĂ©quences : Puisque $(\mathbb{R}, +)$ est un groupe commutatif, par transport de structure via l'isomorphisme $\phi$, $(G, \times)$ est un groupe commutatif.
  • ÉlĂ©ment neutre : $M_0 = \phi(0) = I_2$.
  • SymĂ©trique : $(M_x)^{-1} = (\phi(a))^{-1} = \phi(-a) = M_{-x}$.
Conclusion

$(G, \times)$ est un groupe commutatif isomorphe Ă  $(\mathbb{R}, +)$.