1. Stabilité de F pour la multiplication

Soient deux matrices $M_{\alpha}$ et $M_{\beta}$ de $F$.
Effectuons leur produit :

\begin{align*} M_{\alpha} \times M_{\beta} &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \\\\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix}\\ \end{align*} Donc: \[M_{\alpha} \times M_{\beta} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha + \beta) & -\sin(\alpha + \beta) \\ \sin(\alpha + \beta) & \cos(\alpha + \beta) \end{pmatrix} = M_{\alpha + \beta}\]

Alors $M_{\alpha + \beta} \in F$. La loi $\times$ est stable dans $F$.

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2.Montrons que F est un sous groupe de $GL_2(\Bbb R)$

Élément neutre : Pour $\alpha = 0$, on a $I_2=M_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ~~$ appartient à $F$. Et donc $F$ est non vide.


• Élément symétrique : $M_{\alpha} $, admet pour symétrique $M_{(-\alpha)}$.
  En effet: $$M_{\alpha} \times M_{-\alpha} = M_{\alpha-\alpha} = M_0 = I_2$$

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3. Commutativité

D'après le calcul précédent :

\[ M_{\alpha} \times M_{\beta} = M_{\alpha + \beta} = M_{\beta + \alpha} = M_{\beta} \times M_{\alpha} \]

La loi est commutative car l'addition dans $\mathbb{R}$ l'est.

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Conclusion

L'ensemble $F$ muni de la multiplication est un groupe commutatif.

On peut également noter que l'application suivante est un morphisme de groupes :

\begin{align*} \phi : &\mathbb{R} \longrightarrow F\\ &\alpha \longmapsto M_{\alpha}\\ \end{align*}