1. Détermination des sous-groupes

Groupe $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +)$

• L'ordre du groupe est 3 (premier).
• D'après le théorème de Lagrange, l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe.
• Les diviseurs de 3 sont 1 et 3.
• Sous-groupes : \[ \begin{align*} H_1 &= \{ \bar{0} \} \\ H_2 &= \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{align*} \]

Groupe $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$

• L'ordre est 4. Les diviseurs sont 1, 2 et 4.
• Sous-groupes : \[ \begin{align*} H_1 &= \{ \bar{0} \} \text{ (ordre 1)} \\ H_2 &= \{ \bar{0}, \bar{2} \} \text{ (ordre 2, car } 2 \cdot \bar{2} = \bar{0}) \\ H_3 &= \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \text{ (ordre 4)} \end{align*} \]

Groupe $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, +)$

• L'ordre est 5 (premier).
• Sous-groupes : \[ \begin{align*} H_1 &= \{ \bar{0} \} \\ H_2 &= \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \end{align*} \]

Groupe $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +)$

• L'ordre est 6. Les diviseurs sont 1, 2, 3 et 6.
• Sous-groupes : \[ \begin{align*} H_1 &= \{ \bar{0} \} \\ H_2 &= \{ \bar{0}, \bar{3} \} \text{ (ordre 2)} \\ H_3 &= \{ \bar{0}, \bar{2}, \bar{4} \} \text{ (ordre 3)} \\ H_4 &= \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{align*} \]

2. Existence d'un sous-groupe d'ordre $p$ divisant $n$

Démonstration

• Soit $E = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ un groupe cyclique d'ordre $n$.
• Supposons que $p$ divise $n$. Il existe donc un entier $q$ tel que $n = p \cdot q$.
• Considérons l'élément $a = \bar{q}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
• L'ordre de l'élément $\bar{k}$ est donné par la formule : \[ \text{ord} (\bar{q}) = \frac{n}{\text{pgcd}(q, n)} \]
• Puisque $q$ divise $n$, $\text{pgcd}(q, n) =q$.
  D'où : \[ \text{ord}(\bar{q}) = \frac{n}{q} = p \]
• Le sous-groupe monogène engendré par $\bar{q}$, noté $\langle \bar{q} \rangle$, est donc un sous-groupe de $E$ d'ordre $p$.
• Conclusion : \[ \langle \bar{q} \rangle = \{ \bar{0}, \bar{q}, \overline{2q}, \dots, \overline{(p-1)q} \} \text{ est le sous-groupe recherché.} \]