1. Groupe à 2 éléments : $G = \{e, a\}$

• L'élément $e$ étant le neutre, les produits $e \ast e$, $e \ast a$ et $a \ast e$ sont fixés.
• la seule possiblité pour $a*a$ vu la remarque ci dessus est: $$a*a=e$$

2. Groupe à 3 éléments : $G = \{e, a, b\}$

• L'élément $e$ renseigne la première ligne et la première colonne.
• Pour $a \ast a$, deux choix semblent possibles : $e$ ou $b$.
• Si $a \ast a = e$, alors $a \ast b = b$, ce qui est impossible car $b$ est déjà dans la colonne de $e$.
• Ainsi, $a \ast a = b$. Par déduction, on complète la table :

Synthèse des groupes d'ordre 4 : $~~G = \{e, a, b, c\}$

1. Cas où tous les éléments (hors neutre) sont d'ordre 2

• Chaque élément est son propre symétrique : $a^2 = b^2 = c^2 = e$.
• Ce groupe est connu sous le nom de Groupe de Klein ($V_4$).
• On montre qu'il est commutatif avec les relations : $ab=c, ac=b, bc=a$.
  En effet:
  
  On a pour tout $x\in G$: $$x^2=e$$ Ce qui equivaut à: $$x=x^{-1}\qquad (1)$$ Ainsi chaque élément est son propre inverse.
  Passons à la commutativité: \begin{align*} (a*b)&=(a*b)^{-1}\qquad \text{d'après } (1)\\ a*b&=b^{-1}*a^{-1}\\ a*b&=b*a\qquad \text{d'après } (1)\\ \end{align*} Donc $G$ est commutatif
  
  D'autre part:
  $ab \neq e~$ car sinon $~a^2=ab~$ et donc $~a=b~$ contradiction! $~(a\neq b)$
  $~ab=a~ (\text{resp.}~~ ab=b)\implies b=e~ (\text{resp.}~~ a=e)$ contradiction!.
  Donc: $$ab=c$$ Le même raisonnement s'applique pour montrer que: $$(ac=b)\qquad (bc=a)$$

2. Cas où il existe un élément $~a~$ d'ordre 4

• Le groupe est cyclique : $G = \{e, a, a^2, a^3\}$.
• On pose:
  $b = a^2~~$ (d'ordre 2) et $~c = a^3~~$ (d'ordre 4).
• La structure est celle de $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$.

Comparaison structurelle

1. Le groupe de Klein possède trois éléments d'ordre 2 ($a, b, c$).
2. Le groupe cyclique ne possède qu'un seul élément d'ordre 2 ($b$).
3. Ces deux groupes ne sont donc pas isomorphes.