Égalité de deux sous-espaces vectoriels

Soient les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ :
$u = (1, 1, 0)$, $v = (1, 0, 1)$ et $x = (1, 3, -2)$, $y = (1, 4, -3)$.

Pour montrer que deux familles de vecteurs engendrent le même sous-espace vectoriel, nous allons montrer que chaque vecteur de la seconde famille est une combinaison linéaire des vecteurs de la première, et que les deux espaces ont la même dimension.
Posons $F = \text{Vect}(u, v)$ et $G = \text{Vect}(x, y)$.
  1. Étude de la dimension de $F$ et $G$
    • Les vecteurs $u$ et $v$ ne sont manifestement pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).
      La famille $(u, v)$ est donc libre, ce qui implique $\dim(F) = 2$.
    • De même, les vecteurs $x$ et $y$ ne sont pas colinéaires.
      La famille $(x, y)$ est donc libre, ce qui implique $\dim(G) = 2$.
    • Puisque les deux espaces ont la même dimension, il suffit de montrer l'inclusion $G \subset F$ pour affirmer que $F = G$.
  2. Vérification de l'inclusion $G \subset F$

    Montrons que $x$ et $y$ appartiennent à $F$ en les exprimant comme combinaisons linéaires de $u$ et $v$.
    On cherche des scalaires $a$ et $b$ tels que $(x_1, x_2, x_3) = a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1)$.
    Cela conduit au système : \[\left\{ \begin{matrix} a + b = x_1 \\ a = x_2 \\ b = x_3 \end{matrix} \right.\]

    • Pour le vecteur $x = (1, 3, -2)$ :
      Le système donne immédiatement: $$a = 3 \quad\text{et}\quad b = -2$$
      On vérifie la première équation : $a + b = 3 + (-2) = 1$.
      L'équation est satisfaite et donc: $$x = 3u - 2v$$. On a bien: $x \in F$.
    • Pour le vecteur $y = (1, 4, -3)$ :
      Le système donne immédiatement: $$a = 4\quad \text{et} \quad b = -3$$
      On vérifie la première équation : $a + b = 4 + (-3) = 1$.
      L'équation est satisfaite, soit: $$y = 4u - 3v$$ On a bien: $~y \in F$.
  3. Conclusion
    • Tous les vecteurs de la famille génératrice de $G$ appartiennent à $F$
      Donc: $G \subset F$.
    • Les conditions: ($\dim(G) = \dim(F)~$ et $~G\subset F$) implique $~F=G$
      Conclusion : Les deux familles engendrent le même sous-espace vectoriel.