Soit la famille $\mathcal{F} = (P_1, P_2, P_3)$ avec :
$P_1 = X^2 + 1$,
$P_2 = X^2 + X - 1$,
$P_3 = X^2 + X$.

• On rappelle que:
  $\dim(\mathbb{R}_2[X]) = 3$.
• La famille $\mathcal{F}$ est composée de 3 vecteurs.
  Pour montrer que c'est une base, il suffit donc de prouver qu'elle est libre.
• Soient $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tels que $aP_1 + bP_2 + cP_3 = 0$.
  En remplaçant par les expressions des polynômes :
  $a(X^2 + 1) + b(X^2 + X - 1) + c(X^2 + X) = 0$.
• En regroupant les termes selon les puissances de $X$ :
  $(a + b + c)X^2 + (b + c)X + (a - b) = 0$.
• Puisque la famille $(1, X, X^2)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$, les coefficients doivent être nuls : \[\left\{ \begin{matrix} a + b + c &= 0 \quad \textbf{(1)} \\ b + c &= 0 \quad \textbf{(2)} \\ a - b &= 0 \quad \textbf{(3)} \end{matrix} \right.\]
• Résolution du système :
  D'après (2), on a: $b + c = 0$.
  En remplaçant dans (1), on obtient $a + 0 = 0$, donc $a = 0$.
  D'après (3), $a - b = 0$, donc $b = 0$.
  Enfin, d'après (2), $c = 0$.
• Conclusion :
  La famille est libre.
  Son cardinal étant égal à la dimension de l'espace, la famille $(P_1, P_2, P_3)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.