Soit $~E=\Bbb R_+^*\times\Bbb R_+^* .~$
On définit l'addition $\oplus$ dans $E$ par $~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)$~et la loi externe $\odot$ par:
$\lambda\odot(a,b)=(1 , b^\lambda ).~$
Montrer que $~\left(E,~\oplus,~\odot\right)~$ vérifie tous les axiomes d'un espace vectoriel sauf un. Conclure.
On voit clairement que:
$\qquad\qquad 1\odot(a,b)=(1,b)\not=(a,b)\quad$ dès lors que $~a\not=1.$
On en conclu que $~\left(E,~+,~\textbf{.}\right)~$ n'est pas un $~\Bbb R$-espace vectoriel.
Par ailleurs, tous les autres axiomes sont vérifiés. leur démonstration n'est pas difficile, et est laissée au lecteur !