- Les points d'affixes $~~A,B \text{ et } C~~$ sont alignés si et seulement si, il existe $~~\lambda\in\mathbb{R}$ tel que:
$$(b-a)=\lambda (c-a)$$
Ce qui Ă©quivaut Ă :
$$\dfrac{b-a}{c-a}=\lambda$$
oĂč $~\lambda~$ est un rĂ©el.
Et donc: $$\dfrac{b-a}{c-a}=\overline{\left( \dfrac{b-a}{c-a}\right)}=\dfrac{\bar b-\bar a}{\bar c-\bar a}$$ - Si z=1 alors les 3 points sont confondues.
Les points $~~A(z),B(iz),C(i)~~$ sont alignés si et seulement si:
$$\dfrac{iz-z}{iz-i}=\dfrac{\overline{iz}-\overline{z}}{\overline{iz}-\overline{i}}$$
c'est dire:
$$\dfrac{i-1}{i}\left( \dfrac{z}{z-1}\right)=\dfrac{1+i}{i}\left(\dfrac{\bar z}{\bar z-1} \right)$$
Soit en simplifiant:
$$\left( \dfrac{z}{z-1}\right)=-i\left(\dfrac{\bar z}{\bar z-1} \right)$$
Soit:
\begin{align*}
z(\bar{z}-1)&=-i\bar{z}(z-1)\\
|z|^2-z&=-i|z|^2+i\bar{z}\\
(1+i)|z|^2&=(z+i\bar{z})\\
2|z|^2&=(1-i)(z+i\bar{z})=(z+\bar{z})-i(z-\bar{z})\\
2|z^2|&=2x-i(2iy)\\
x^2+y^2&=x+y
\end{align*}
Soit:
$$\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$$
L'ensemble recherché est donc:
le cercle de centre le point d'affixe $~~\frac{1}{2}(1+i)~~$ et de rayon $~~\frac{1}{\sqrt{2}}$ dépourvu du point d'affixe.
Remarque:
le point d'affixe 1 n'appartient pas au cercle