La transformation qui associe à tout réel $~x~$ le nombre complexe $z$ défini par:
$$z=\dfrac{1+ix}{1-ix}$$
n'est pas définie si $~(~x = -i~)$.
D'autre part:
\begin{align*}
z&=\dfrac{1+ix}{1-ix}\\\\
|z|&=\dfrac{|1+ix|}{|\overline{1+ix}|}\\\\
|z|&=\dfrac{|1+ix|}{|{1+ix}|}
\end{align*}
Soit: $~~|z|=1~~$ ($z~$ est un complexe unité)
RĂ©ciproquement:
Si $|z|=1~$ alors il exite $~\alpha$ dans $~\Bbb R~$tel que:
$$z=e^{i2\alpha}$$
Et alors:
\begin{align*}
z&=\dfrac{1+ix}{1-ix}\\
z+1&=\dfrac{2}{1-ix}\\
ix&=\dfrac{z-1}{z+1}\\
ix&=\dfrac{e^{2i\alpha}-1}{e^{2\alpha}+1}\\
ix&=\dfrac{e^{i\alpha}(e^{i\alpha}-e^{-i\alpha})}{e^{i\alpha}(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}\\
ix&=\dfrac{2i\sin(\alpha)}{2\cos(\alpha)}
\end{align*}
On en déduit:
$$x=\tan(\alpha)$$
avec: $\alpha\neq (2k+1)\frac{\pi}{2}$
Pour ce cas particulier, $\left(~\alpha=(2k+1)\frac{\pi}{2}~\right)$, on a:
$$z=e^{i2\alpha}=e^{(2k+1)\pi}=e^{i\pi}=-1$$
Et pour $~z=-1~$ on aura:
$$z=-1=\dfrac{1+ix}{1-ix}\Rightarrow 1+ix=ix-1$$
(impossible!)
L'ensemble des images est donc le cercle unité dépourvu du point d'affixe $(-1)$