$~\alpha\quad$ et $\quad \beta\quad $ étant des complexes unités alors: $$\bar{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha}\qquad \text{et}\qquad \bar{\beta}=\dfrac{1}{\beta}$$ Posons: $$Z=\dfrac{z+\alpha \beta\bar{z}-(\alpha +\beta)}{\alpha -\beta}$$ Montrons que: $$Z+\overline{Z}=0$$ En effet: $$\overline{Z}=\dfrac{\bar{z}+\frac{1}{\alpha\beta}z-(\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta})}{\frac{1}{\alpha} -\frac{1}{\beta}}=\dfrac{\alpha \beta\bar{z}+z-(\alpha +\beta)}{\beta-\alpha}=-Z$$ Puisque: $~(~Z+\overline{Z}=0~)~$ alors le complexe $~Z~$ est purement imaginaire ou nul.
On en déduit que $~~Z^2~~$ est négatif ou nul.