Soient (a,b,c) tels que: $$|a|=|b|=|c|=1$$ On va distinguer les cas:
- Si: $$a+b+c=0$$ Dans ce cas on aura aussi: $$\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=0=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{ab+ac+bc}{abc}=0$$ Ce qui donne: $$ab+ac+bc=0$$ Et par la suite: $$|a+b+c|=|ab+ac+bc|$$
- Si $(a+b+c \neq 0)$
Dans ce cas: \begin{align*} |a+b+c|^2&=(a+b+c)(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})\\ |a+b+c|^2&=(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\ |a+b+c|^2&=|a+b+c| \left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\\ |a+b+c|^2&=|a+b+c|\left|\dfrac{ab+ac+bc}{abc}\right|\\ |a+b+c|^2&=|a+b+c|~|ab+ac+bc| \end{align*} Et donc: $$|a+b+c|=|ab+ac+bc|$$ car: $\quad|abc|=1\quad $ et $\quad |a+b+c|\neq 0$
En résumé:
Dans les deux cas considérés ci-dessus on a: $$|a+b+c|=|ab+ac+bc|$$