- Soit $A(3+i),B(1-2i),C(-2+4i),~~ \text{et}~~ D(z)$
On suppose que ces 4 points constituent un parallélogramme.
Un parmi les 3 sommets ci dessus, est adjacent aux deux autres.
On a donc 3 possibilités, qui correspondent au choix de ce sommet parmi les points $A,B,C$.
- Les 3 cas sont les suivants:
- $~AB~$ et $~AC~$ constituent 2 cotés adjacents du parallélogramme.
Dans ce cas on a: $$~~\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$$ Ce qui Ă©quivaut en Ă©criture complexe Ă : $$((1-2i)-(3+i))+((-2+4i)-(3+i))=z-(3+i)$$ Par la suite : $$z=(1-2i)+(-2+4i)-(3+i)$$ Soit: $$\color{magenta}\boxed{~~z=-4+i~~}$$
Représentation graphique - $~AB~$ et $~AD~$ constituent 2 cotés adjacents.
De la mĂȘme maniĂšre on doit avoir: $$(-2+4i)=(1-2i)+z-(3+i)$$ Soit: $$\color{magenta}\boxed{z=7i}$$
Représentation graphique - $AC$ et $AD$ constituent 2 cÎtés adjacents.
Dans ce dernier cas on doit avoir: $$z_C-z_A)+(z-z_A)=(z_B-z_A)$$ Et donc: $$z=z_A+z_B-z_C=(3+i)+(1-2i)-(-2+4i)$$ Soit: $$\color{magenta}\boxed{~~z=6-5i~~}$$
Représentation graphique
- $~AB~$ et $~AC~$ constituent 2 cotés adjacents du parallélogramme.