1. On pose: $~~z=e^{ix}$
    $$\sin x = \dfrac{1}{2i}\left(z-\dfrac{1}{z}\right)\qquad \text{et}\qquad \cos x = \dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right)$$
    $$3\sin x - \sqrt{3}\cos x=\sqrt{6}$$ est equivalente Ă  $$\dfrac{3}{2i}\left(z-\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right)=\sqrt{6}$$
    En réarrangeant: \begin{align*} \left(\dfrac{3}{2i}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z-\left(\dfrac{3}{2i}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\dfrac{1}{z}&=\sqrt{6}\\ (3-i\sqrt{3})z^2-i2\sqrt{6}z-(3+i\sqrt{3})&=0\qquad (\mathcal E) \end{align*} Le discriminant réduit de la quadratique $~\mathcal E~$: $$\Delta'=(-i\sqrt{6})^2+(3-i\sqrt{3})(3+i\sqrt{3})=6$$ Les racines sont données par: $$z_1=\dfrac{i\sqrt{6}-\sqrt{6}}{3-i\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}{e^{i\frac{3\pi}{4}}}}{2\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}}=e^{i\frac{11\pi}{12}}$$
    $$z_2=\dfrac{i\sqrt{6}+\sqrt{6}}{3-i\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{4}}}{2\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}}=e^{i\frac{5\pi}{12}}$$ L'ensemble de solutions en $~x~$ est:
    $$S=\left\lbrace~\left(~\frac{5\pi}{12}+k2\pi~\right) ~,~\left(~\frac{11\pi}{12}+k2\pi~\right)~:\quad (~k\in\mathbb Z~)~\right\rbrace$$
  2. La solution de cette Ă©quation peut-ĂȘtre dĂ©duite de la prĂ©cĂ©dente comme suit:
    $$ \sqrt{3}\cos x -\sin x =\sqrt{2}$$
    Multiplions les 2 membre par $~\sqrt{3}$:
    $$3\cos x -\sqrt{3}\sin x = \sqrt{6}$$ Posons: $~~x=\dfrac{\pi}{2}-y$
    $3\sin(y)-\sqrt{3}\cos y=\sqrt{6}$
    D'aprĂšs la premiĂšre question on a:
    $y=\left(~\frac{5\pi}{12}+k2\pi~\right)\qquad$ ou $\qquad y=\left(~\frac{11\pi}{12}+k2\pi~\right)$
    L'ensemble des solution en x est donc:
    $$S=\left\lbrace~\left(~\frac{\pi}{12}+k2\pi~\right) ~,~\left(~\frac{-5\pi}{12}+k2\pi~\right)~:\quad (~k\in\mathbb Z~)~\right\rbrace$$
  3. On va résoudre cette équation en utilisant les méthodes trigonométriques usuelles.
    On a: \begin{align*} \dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos x + \sin x &= -\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ \sqrt{3}\cos x +3\sin x &=-2\sqrt{3}\\ \dfrac{1}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x &= -1\\ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) &=-1\\ \sin(x+\frac{\pi}{6}) &= \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \end{align*} On obtient: $~~x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi$ $$S=\left\lbrace~\dfrac{4\pi}{3}+k2\pi\quad:\quad (k\in\mathbb Z) ~\right\rbrace$$