Soit $~u~$ est une racine septième de l'unité différente de 1 .
On a d'une part: $$(1-u)(1+u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6)=1-u^7=0$$ Ce qui implique: $$\color{magenta}\boxed{(1+u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6)=0}$$ Car par hypothèse $~~(u\neq 1)$

D'autres parts: $$u^7=1\Longrightarrow (u^8=u);\quad (u^{10}=u^3); \quad \text{et}\quad (u^{12}=u^5)$$ Par la suite: $$u^2+u^4+u^6+u^8+u^{10}+u^{12}=u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6=-1$$ Par conséquent: $$\color{magenta}\boxed{u^2+u^4+u^6+u^8+u^{10}+u^{12}=-1}$$ Remarques:
Le lecteur pourra verifier que: $$u^n=u^{n \mod 7}$$ Et donc: $$(u^{8}=u^{1+7}=u)\qquad (u^{10}=u^{3+10}=u^3)\qquad (u^{12}=u^{5+7}=u^5)$$ D'autres parts; puisque $~u^2~$ est aussi une racine septième de l'unité différente de l'unité et alors: $$\sum_{k=0}^6{(u^2)^k}=0$$ Ce qui donne encore une fois: $$u^2+u^4+u^6+u^8+u^{10}+u^{12}=-1$$