- l'équation:
$$z^3=z_0\qquad (\mathcal E_1)$$
est une équation cubique. elle admet 3 racines distinctes.
En effet:
Si $~u~$ est une racine de $~\mathcal E_1~$ alors $~ju~$ et $~j^2u~$ sont le sont; et on vérifie bien que ces trois racines sont deux deux distinctes.
Racine cubique de $~(2-2i)~$:
Soit: $~~u=~$ une racine cubique de $~(2-2i)~$
On a: $$~~2-2i=2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}=(\sqrt{2})^3e^{-i\frac{\pi}{4}}$$ On en déduit: $$~~u=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{12}}$$ En outre: $$e^{-i\frac{\pi}{12}}=e^{-i\frac{\pi}{3}}~e^{i\frac{\pi}{4}}$$ Soit: $$e^{-i\frac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-i\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$ (Faites vous-même les calculs!)
Soit: $$~~u=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$$ Les racines cubiques de $~(2-2i)~$ sont alors: $$u~~;~~j~u~~;~~j^2~u$$ Racine cubique de $~~(11+2i)$:
Soit $~a+ib~$ une racine cubique particulière de $~(~11+2i~)~$.
On doit avoir: $$(a+ib)^3=11+2i\qquad (\mathcal E_2)$$ Par passage au modules on a:
$$(a^2+b^2)^3=11^2+2^2=125$$ Soit: $$a^2+b^2=5 \qquad(2)$$ En développant l'équation $~(\mathcal E_2)~$ on obtient:
\begin{cases} a^3-3ab^2=11\\3a^2b-b^3 =2 \end{cases} Ce qui implique: \begin{cases} a(a^2-3b^2)=11\\b(3a^2-b^2)=2\\ \end{cases} En multipliant les 2 dernières équations on obtient:
$$ab(a^2-3b^2)(3a^2-b^2)=22$$ On obtient: $$ab(~3(~a^4+b^4~)-10a^2b^2~)=22$$ Or: $$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$ Ce qui donne: $$a^4+b^4=25-2a^2b^2$$ En remplaçant et en simplifiant on trouve:
$$16(ab)^3-75(ab)+22=0$$ C'est une équation cubique en $~~(~ab~)~~$ ou l'on reconnait une racine $~ab=2$. On cherchera donc une racine cubique qui vérifie: \begin{cases} a^2+b^2=5\\ab=2 \\ \end{cases} En combinant les deux équations on trouve: \begin{cases} a^2+b^2+2ab=5+4=9\\a^2+b^2-2ab=5-4=1 \\ \end{cases} Ce qui implique: \begin{cases} (a+b)^2=9\\(a-b)^2=1 \\ \end{cases} la relation $~(~ab=2)~$ implique $~a~$ et $~b~$ ont le même signe. \begin{cases} |a+b|=3\\|a-b|=1 \\ \end{cases} On vérifie que: \begin{cases} a-b=1\\ a+b=-3 \\ \end{cases} donnent une racine cubique $a+ib=-(1+2i)$
Conclusion:
Les racines cubiques sont: $-(1+2i),-j(1+2i)~~$ et $~~ -j^2(1+ 2i)$