Soit à résoudre:
$$z^2=\bar{z}\qquad (*)$$
Par passage aux modules on obtient:
$$|z|^2=|\bar{z}|=|z|$$
Et donc:
$$|z|^2- |z|=|z|(|z|-1)=0$$
On en déduit:
$$(~|z|=0~) \qquad\textit{ou}\qquad(~|z|=1~)~$$
- $|z|=0~~\Longleftrightarrow~~z=0$
- $|z|=1~~\Longrightarrow~\bar z=\dfrac{1}{z}$
L'Ă©quation $~(*)~$ devient dans ce dernier cas:
$$\quad z^2=\dfrac{1}{z}$$
On en déduit:
$$\quad z^3=1$$
Et donc:
$$z=1,~j,~j^2$$
Et on vérifie bien que:
$$z^3=1 ~ \Longrightarrow ~ z^2=\dfrac{1}{z}=\bar{z}$$
En conclusion l'ensemble des solution est:
$$ S=\{0,1,j,j^2\} $$