Soit l'équation: $$z^6=1~~$$ Les solutions de cette équation sont les racines sixièmes de l'unité:
$$z_k=e^{i\frac{k2\pi}{6}}\quad: (k=0,1,\cdots,5)$$
  • Soit l'équation: $$(z-1)^6+(z-1)^3+1=0$$ Posons: $s=(z-1)$.
    On obtient alors:
    $$s^6+s^3+1=0\qquad (*)$$ En multipliant cette dernière par $~(s^3-1)~$ on obtient:br> $$(s^3-1)(s^6+s^3+1)=s^9-1$$ Les racine de l'équation $(*)$ sont les racines neuvièmes de l'unité, desquels on exclue les racine de $~~(s^3-1=0)~~$ (qui sont les racine cubiques de l'unité i.e $(~1,j,j^2~)~$)
    Si on pose: $w=e^{i\frac{2\pi}{9}}$ alors:
    Les racine de l'équation $(*)$ sont:
    $$w,w^2,w^4,w^5,w^7,w^8$$ (Remarquez que l'on exclu les racine cubiques de l'unité à savoir $~~(~1,w^3,w^6~)~~$)
    Les racines de l'équation $ii)$ s'en déduisent comme suit:
    $$1+w,~~1+w^2,~~1+w^4,~~1+w^5,~~1+w^7,~~1+w^8$$